Matematické Fórum

Majcek159 · 18. 10. 2019 23:23

Zzdravím,
je daná postupnosť a1=sqrt(3); a2=sqrt(3+(sqrt(3)),... an=sqrt(3+an-1) (rekurzia).
Ako dokážem, že je táto funkcia ohraničená zhora? Že podla definicie ohraničenosti zhora len určím nejake h \ge an a za an dosadim dostatočne velke čislo? To sa mi nezda ako dôkaz :/ Chápem, h musí byť \ge limita tej postupnosti tj nejakych 2.302...
Vdaka za odpovede

laszky · 18. 10. 2019 23:56

↑ Majcek159:

Tak treba bys mohl indukci ukazat, ze $a_n < 6$ pro vsechna $n\in\mathbb{N}$ :

$1)\ a_1 = \sqrt{3} < 6$

$2)\ a_n = \sqrt{3+a_{n-1}} < \sqrt{3+6} = \sqrt{9} = 3 < 6$

krakonoš

↑ Majcek159:
Asi bych se snazila dokazat konvergentnost pres Bolzano Cauchyho podminku,ze dochazi k priblizovani dvojic clenu.
Pak je limita reseni rovnice $L=\sqrt{3+L}$ .
,
kde L je kladné. Posloupnost je neklesajici.

Majcek159 · 19. 10. 2019 00:11

↑ laszky:
Vdaka, len som sa chcel uistiť, sám som to iste spravim ale s číslom 25 len som si nebol istý či to je správne

↑ krakonoš:
Ano, limitu som si presne tak isto vypočital aj ja, len o žiadnej podmienke som doteraz nepočul, vdaka, dobre vediet.

laszky · 19. 10. 2019 00:19

↑ Majcek159:

Pokud $L=\sqrt{3+L}$ , potom lze rovnez pouzit odhad

$\left|a_n - L\right| = \left|\sqrt{3+a_{n-1}}-\sqrt{3+L}\right| = \frac{\left|(3+a_{n-1})-(3+L)\right|}{\sqrt{3+a_{n-1}}+\sqrt{3+L}} = \frac{|a_{n-1}-L|}{\sqrt{3+a_{n-1}}+\sqrt{3+L}} \leq \frac{|a_{n-1}-L|}{2\sqrt{3}}$

Takze $|a_n-L| \leq \left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^n |a_0-L|$

krakonoš · 19. 10. 2019 00:24

↑ Majcek159:
Vyjadri si druhe mocniny n-1 niho a nteho clenu a porovnej jejich rozdil v absolutni hodnote s rozdilem nteho a n-1 niho clenu v absolutni hodnote dale s rozdilem n-2 eho a n-1 niho clenu v absolutni hodnote.
Dochazi zde k zkracovani vzdalenosti sousednich clenu.To zarucuje existenci limity.

vanok · 19. 10. 2019 03:24 — Editoval vanok (19. 10. 2019 15:46)

Pozdravujem vsetkych . Prave som sa na chvilku zobudil a tak vam tu napisem schematicky moje riesenie.
( Poznamka, to riesenie sa da generalizovat aj na ine konstanty $a_1>0$ )
Aby som sa lepsie mohol vyjadrit konstatujem, ze postupnost $(a_i)$ je rekutentne definivana takto:
$a_1=\sqrt 3$
$a_{i+1}=\sqrt{a_i+3}$
(Cize jej prvy clen urcuje celu postupnost)
Ak uvazujem funkciu $f$ definovanu na $\Bbb R^+$ taku. , ze $f(x)=\sqrt{x+3}$ lahko ukazem, ze tato funkcia je rastuca. ... a tak aj nasa postupnost.
Tiez konstatujem, ze relacia $f(x)=x$ je ekvivalentna z $x^2=x+3$ ( lebo $x\geq0$ ) , a tato rovnica ma riesenia $x_1=\frac{1+\sqrt{13}}2$ a $x_2=\frac{1-\sqrt{13}}2$ take, ze $x_1>\sqrt 3$ a $x_2<0$ co da $x_2<a_1<x_1$ .
Vdaka indukcii mame $a_i<x_1$ ( to treba dokazat)
Kontrola