Matematické Fórum

tamrin · 23. 11. 2019 00:35

Dobrý den,
Potřeboval bych prosím poradit.
Chtěl bych ověřit jestli mám pravdu v následujícím tvrzení.

Každé přirozené číslo $x$ (>0), splňuje alespoň jeden ze 4 následujících předpisů:

$x=k\cdot 10^{n}$
$x=\frac{10^{n}}{q}$
$x=a\cdot b, NSD(a,b)=1$
$x=p^{n},$ kde p je prvočíslo (>0)

U všech případů $a, b, k, q, n, \in \mathbb{N}$
pomocí NSD značím největší společný dělitel.

Zajímalo by mě tedy, jestli existuje takové přirozené číslo, pro které nelze vybrat žádný z těchto předpisů.

Nevím jestli se úplně vydávám správným směrem při ověřování.
Přišel jsem už na to, že všechna prvočísla, mají zřejmě svůj předpis a je tedy nutný přijít na to, že všechna složená čísla je možné někam zařadit. Libovolně zvolené složené číslo jsem zatím dokázal zařadit, ale rád bych vyvodil obecně ověření tvrzení (nebo vyvrácení).

Předem děkuji za rady.

check_drummer · 23. 11. 2019 08:31

↑ tamrin:
Ahoj, existují čísla, která lze vyjádřit pouze třetím předpisem. A naopak třetím předpisem lze vyjádřit každé přirozené číslo.

tamrin · 23. 11. 2019 12:03

No jo, vlastně s jedničkou je jakékoliv číslo nesoudělné. A udělám-li rozklad složeného čísla na součin prvočísel, pro který neplatí 4. předpis, dostanu
$x=p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\cdot \ldots p_{k}^{n_{k}}$
Přičemž jsou v rozkladu použity alespoň první 2 členy. Tudíž je možné napsat takové číslo jako součin nesoudělných čísel. Například číslo 36 je 1*36 ale také 4*9.

Děkuji moc za odpověď. Budu totiž tvořit jeden program, tak jsem rád, že už do toho vidím více.

vanok · 23. 11. 2019 12:18 — Editoval vanok (23. 11. 2019 12:21)

Ahoj ↑ tamrin:,
Tvoj “predpis” $x=p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\cdot \ldots p_{k}^{n_{k}}$ je plati aj v pripade 4.

Inac iste vies ze pocet delitelov prirodzeneho cisla $x=p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\cdot \ldots p_{k}^{n_{k}}$ je $(1+n_1) ... (1+n_k)$ .

Co sa tyka 36, tak mas $36=2^2 . 3^2$ a pocet jeho delitelov je $(1+2).(1+2)=9$ Aka ca sa tyka rokladu na sucin mas ich dva ( ten 1.36 sa vola trivialny a asi ti nie je ani velmi uzitocny).

tamrin · 23. 11. 2019 12:41

↑ vanok:
Děkuji za upřesnění, jsem rád, že se vždy zde najdou ochotní lidé co pomůžou :)

Ferdish

vanok napsal(a):
Ahoj ↑ tamrin:,
Inac iste vies ze pocet delitelov prirodzeneho cisla $x=p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\cdot \ldots p_{k}^{n_{k}}$ je $(1+n_1) ... (1+n_k)$ .

Gaussova veta o počte deliteľov prirodzeného čísla. Škoda že sa už neučí na SŠ...

Matematické Fórum

#1 23. 11. 2019 00:35

Rozdělení přirozených čísel do skupin

#2 23. 11. 2019 08:31

Re: Rozdělení přirozených čísel do skupin

#3 23. 11. 2019 12:03

Re: Rozdělení přirozených čísel do skupin

#4 23. 11. 2019 12:18 — Editoval vanok (23. 11. 2019 12:21)

Re: Rozdělení přirozených čísel do skupin

#5 23. 11. 2019 12:41

Re: Rozdělení přirozených čísel do skupin

#6 23. 11. 2019 13:44 — Editoval Ferdish (23. 11. 2019 13:44)

Re: Rozdělení přirozených čísel do skupin

vanok napsal(a):

Zápatí