Matematické Fórum

mateg · 04. 12. 2019 17:27 — Editoval mateg (04. 12. 2019 17:45)

Dobrý deň
Raz keď som rozmýšľal tak ako by pomocou matematickej analýzi dala zistiť vzdialenosť grafu (resp predstavme si že ten graf je trajektória a veľkosť nej) funkcie od bodu nula do nejakého x a spraviť z toho celkom novú funkciu uvediem príklad na pochopenie.Máme funkciu f(x)=x

a keby som chcel zistiť "dĺžku" tej priamky ktorá vznikne od 0 do x tu by som použil jednoducho pytagorovú vetu lebo mi tu vznikne pravouhlý trojuholník zo stranami x a y a mi vieme že y=x tak by mi vyšla nová funkcia
g(x)= $\sqrt {x^{2}+x^{2}}=\sqrt{2x^{2}}=\sqrt{2}x$
a táto funkcia by mi v každom bode x vravela aká dlhá je "úsečka" grafu f(x)=x od nuly do toho x

A moja otázka ako by sa to dalo spraviť s ľubovoľnou funkciou napr. x^2 ? kde sú už grafy krivky

Bati · 04. 12. 2019 17:49

Ahoj,
pouzij stejnou uvahu na hodne malem trojuhelnicku se zakladnou dx po grafem a zjistis, ze prirozeny kandidat je
$L=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+(f'(x))^2}\,\mathrm{d}x$ .
To urcite plati pro C^1 funkce..

mateg · 04. 12. 2019 18:14

$y=\int\sqrt{1+(f'(x))^2}\,\mathrm{d}x$
takže ak správne rozumiem (ešte nie som moc zbehlý v matematickej analýze) takto by som vedel vytvoriť všeobecne funkciu týmto spôsobom

mateg · 04. 12. 2019 18:23

↑ Bati: ale chcem sa vám poďakovať takto v jednoduchej forme som to nemohol nikde najisť :)
veď ten trojuholníček dx ma tiež napadol len som nevedel ako to zformulovať do nejakej takej formy v akej ste mi to poslali

Bati · 04. 12. 2019 18:56

↑ mateg:
No pak se to musi jeste pres vsechny takove trojuhelnicky vyscitat a udelat limitu - tim se tam dostane ten integral (riemannuv). Ten integral by mel mit meze, aby bylo jasne jaky usek krivky merime.

krakonoš · 04. 12. 2019 21:04

↑ mateg:
Ahoj
Je zde použita Pythagorova věta, jak už zde bylo vysvětleno, ale ještě navíc je na rozdíl funkčních hodnot použita Lagrangeova věta o střední hodnotě, ta zajistí , že v dílčím uzavřeném intervalu bude existovat takový bod alfa, že derivace v tomto bodě je rovna podílu rozdílu funkčních hodnot ku délce intervalu.

vanok · 05. 12. 2019 10:28

Ahoj ↑ mateg:,
Mozes sa aj tu poucit: https://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length ,
Oplati sa precitat aj fr verziu.

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2019 17:27 — Editoval mateg (04. 12. 2019 17:45)

zistenie veľkosti "dĺžky" krivky resp rôznych funkcií

#2 04. 12. 2019 17:49

Re: zistenie veľkosti "dĺžky" krivky resp rôznych funkcií

#3 04. 12. 2019 18:14

Re: zistenie veľkosti "dĺžky" krivky resp rôznych funkcií

#4 04. 12. 2019 18:23

Re: zistenie veľkosti "dĺžky" krivky resp rôznych funkcií

#5 04. 12. 2019 18:56

Re: zistenie veľkosti "dĺžky" krivky resp rôznych funkcií

#6 04. 12. 2019 21:04

Re: zistenie veľkosti "dĺžky" krivky resp rôznych funkcií

#7 05. 12. 2019 10:28

Re: zistenie veľkosti "dĺžky" krivky resp rôznych funkcií

Zápatí