Matematické Fórum

1jirka22 · 26. 12. 2019 00:01

Ahoj,

prosím vás, mohl by mi někdo prozradit proč při určování jednoznačnosti řešení diferenciálních rovnic musí být $\frac{\partial f}{\partial y}$ spojitá?

Moc děkuji :)

Pomeranc

↑ 1jirka22:

Nevyplývá to z Picardovy věty?

Edit: tak jsem to kdysi pochopila, ale nemusí to být správně.

1jirka22 · 26. 12. 2019 01:06

↑ Pomeranc:
Díky za reakci. Ano, je to tak. Ale myslel jsem, vysvětlit to třeba na nějakém příkladu, nějak názorně. Vůbec za tím takhle nic nevidím.

Pomeranc · 26. 12. 2019 20:52

↑ 1jirka22:

Já znám jenom nějaké příklady, kde se ta parciální derivace rovnou už využívá.

jardofpr

Ahojte, poznámka ak to pomôže.

Bavíme sa pre jednoduchosť o probléme $y'(x) = f(x, y(x))\,,\, y(x_0) = y_0$ , kde $f:D\subset \mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .

Existenciu aspoň jedného lokálneho riešenia problému vyššie zaručuje spojitosť $f$ v $x,y$ .
Mne je toto známe ako Peanova veta.

Picardova veta potom navyše predpokladá Lipschitzovskú spojitosť $f$ v premennej $y$ a
zaručuje jednoznačnosť lokálneho riešenia problému vyššie.

Pokiaľ je $\frac{\partial f}{\partial y}$ spojitá a ohraničená na nejakom okolí $y_0$ , vyplýva z toho že $f$ je L-spojitá v premennej $y$ ;

v takom prípade sa za konštantu $L$ dá zobrať $\sup_{y}\bigg|\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|$ a Picardova veta je aplikovateľná.

Tieto tvrdenia sú ale postačujúce podmienky;
t.j. $f$ nemusi byť ani L-spojitá a napriek tomu môže mať jednoznačné lokálne riešenie.

EDIT: Pre vyjasnenie relevancie pre otázku.

1jirka22 napsal(a):
prosím vás, mohl by mi někdo prozradit proč při určování jednoznačnosti řešení diferenciálních rovnic musí být $\frac{\partial f}{\partial y}$ spojitá?

V skutočnosti nemusí, ale ak je aj ohraničená tak to stačí. Viď vyššie.

1jirka22 · 02. 01. 2020 02:28

Děkuji moc za Váš názor :)

Matematické Fórum

#1 26. 12. 2019 00:01

Oblasti existence a jednoznačnost diferenciálních rovnic

#2 26. 12. 2019 00:19 — Editoval Pomeranc (26. 12. 2019 00:19)

Re: Oblasti existence a jednoznačnost diferenciálních rovnic

#3 26. 12. 2019 01:06

Re: Oblasti existence a jednoznačnost diferenciálních rovnic

#4 26. 12. 2019 20:52

Re: Oblasti existence a jednoznačnost diferenciálních rovnic

#5 28. 12. 2019 13:34 — Editoval jardofpr (28. 12. 2019 23:20)

Re: Oblasti existence a jednoznačnost diferenciálních rovnic

1jirka22 napsal(a):

#6 02. 01. 2020 02:28

Re: Oblasti existence a jednoznačnost diferenciálních rovnic

Zápatí