Matematické Fórum

mckrek7 · 29. 12. 2019 20:21

Zdravím, již jakou dobu se snažím vypočítat jeden příklad. Bohužel jsme nic podobného neprobírali a na internetu jsem se nic kloudného nedozvěděl. (našel jsem stejný příklad v několik let starém příspěvku, ale použitelná odpověď tam nebyla)

Vypočítejte: //forum.matweb.cz/upload3/img/2019-12/46660_mathtex.gif

kde plocha S je vnější strana kulové plochy $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$

Pokoušel jsem se na to využít sférické souřadnice, ale ačkoli si vytvořím nějaké parametry, nevím jak mám reagovat na "dydz", když jsme pokaždé používaly "ds" a celkově jsem zmatený ze spolupráce sférických souřadnic a plošných integrálů.

Za jakékoli rady/připomínky, popřípadě výpočet budu rád.

Díky

krakonoš

↑ mckrek7:
Ahoj
Toto je křivkový integrál druhého druhu
Podle článku Plošný a křivkový integrál-UJEP na internetu (physics.ujep.cz/jmaly....) jsem pochopila,žeprvní sčítanec kde figuruje dydz se bere tak, že y vyjadříme v nových proměnných alfa, gama dle sfer. souřadnic, z rovněž a spočteme
determinant matice parc deriv y podle alfa;parc derivace y podle gama
parc derivace z podle alfa;parc derivace z podle gama
Aspoň já to chápu jako jistý jakobián*dalfa dgama.Dále si pochopitelně i třetí mocninu x vyjádříme ve sférických souřadnicích a pak integrujeme podle alfa,gama..použijeme Fubiniovu větu

Brano · 30. 12. 2019 02:39

konkretne tento priklad sa najjdenoduchsie vypocita pomocou Gaussovej vety

Jj · 30. 12. 2019 05:56 — Editoval Jj (30. 12. 2019 06:10)

↑ mckrek7:

Hezký den.

Až tak těmto integrálům nehovím, ale řekl bych, že podle Gaussovy (resp. Gaussovy - Ostrogradského) věty se plošný integrál tvaru

$\iint_S P(x,y,z)\,dy\,dz + P(x,y,z)\,dx\,dz + R(x,y,z)\,dx\,dy$
přes vnější stranu uzavřené plochy S dá upravit na objemový integrál

$\iiint_S $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$\,dV$

Takže v tomto konkrétním příkladě zřejmě bude S koule
x² + y² + z² = 4 a dále

$\iint_S x^3\,dy\,dz + y^3\,dx\,dz + z^3\,dx\,dy = \nl\iiint_S $\frac{\partial x^3}{\partial x}+\frac{\partial y^3}{\partial y}+\frac{\partial z^3}{\partial z}$\,dx\,dy\,dz = \cdots$

Na použití uvedené věty jsou na internetu stovky příkladů.

Jj · 30. 12. 2019 21:30 — Editoval Jj (30. 12. 2019 21:34)

Navážu na Vaši SZ, z níž jsem pochopil jen tolik, že substituce ve vícerozměrném integrálu jdou úplně mimo Vás a uvedu rámcově další postup při využití sférických souřadnic při dořešení úlohy:

$x=r\cos \varphi\cos \vartheta, y = r \sin \varphi\cos \vartheta, z= r\sin \vartheta$
$\varphi\in\langle0,2\pi\rangle,\vartheta\in\langle-\pi/2,\pi/2\rangle,r\in\langle0,2\rangle,\quad J = r^2\cos \vartheta$
J = Jakobián transformace

Při uvedené transformaci a po úpravách $x^2+y^2+z^2 \sim r^2, dx\,dy\,dz \sim J\,\,d\vartheta\,dr\,d\varphi$ , takže

$\iint_S 3(x^2+y^2+z^2)\,dx\,dy\,dz$ po transformaci myslím
$\sim\int _0^{2\pi }\int _0^2\int _{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}3r^2\cdot r^2 \cos \vartheta\,d\vartheta\,dr\,d\varphi=\cdots$
což je (pokud jsem se nepřeklepl) prakticky integrál řešitelný "z hlavy".

Nezbude, než problematiku substituce ve vícerozměrných integrálech nastudovat.

mckrek7

↑ Jj:
Dobrý den,
moc děkuji za Vaší pomoc. Popravdě tohle už jsem řešil u dřívějších příkladů, ale absolutně mě to nenapadlo u tohoto ( $x^2+y^2+z^2 \sim r^2$ ).
Po vypočtení Vašeho integrálu mi vyšel správný výsledek. Omlouvám se za otravování u takto jednoduchého řešení, mělo mi to dojít.

Jj · 31. 12. 2019 12:09

↑ mckrek7:

S "otravováním" si nedělejte vrásky. Řekl bych, že škoda je jen toho dotazu, který nebyl vznesen.

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2019 20:21

Plošný integrál

#2 30. 12. 2019 00:44 — Editoval krakonoš (30. 12. 2019 01:44)

Re: Plošný integrál

#3 30. 12. 2019 02:39

Re: Plošný integrál

#4 30. 12. 2019 05:56 — Editoval Jj (30. 12. 2019 06:10)

Re: Plošný integrál

#5 30. 12. 2019 21:30 — Editoval Jj (30. 12. 2019 21:34)

Re: Plošný integrál

#6 31. 12. 2019 10:49 — Editoval mckrek7 (31. 12. 2019 10:50)

Re: Plošný integrál

#7 31. 12. 2019 12:09

Re: Plošný integrál

Zápatí