Matematické Fórum

Hooks · 04. 01. 2020 20:02 — Editoval Hooks (04. 01. 2020 20:03)

Je dáno pole $f(x) = grad (2xy - 3yz + 4xz)$

Zjistěte jestli je nezřidlové, nevirové a potenciální.

Vypočítejte práci, kterou vykoná pole f(x) při přemistení hmotného bodu po úsečce CD, $C [1,1,1) D [0,1,1]$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-01/64272_1.jpg

vyšlo mi zřidlové, nepotenciálové.

Vykonanou prací si nejsem jistej..

Předem díky za cokoli.

Jj · 04. 01. 2020 21:24

↑ Hooks:

Nejspíše to špatně chápu, ale řekl bych, že

$grad(2xy-3yz+4xz) = \vec{V}(2 (y + 2 z), 2 x - 3 z, 4 x - 3 y)$ a dále máme řešit vektorové pole V.

Ale třeba se pletu.

MichalAld · 04. 01. 2020 22:40

Potenciální je každopádně, to je definice potenciálního pole - že vznikne jako gradient nějaké skalární funkce (zvané potenciál).

Vírové není také automaticky, díky identitě z vektorové analýzy, že rot grad f() = 0.

Jestli je zřídlové budeš muset rozhodnout podle té funkce ... div grad f() = laPlace f() ... doufám...

Hooks · 05. 01. 2020 12:57

Pánové máte pravdu.

$grad (2xy - 3yz +4xz)$ toto je skalární pole. A abych z toho udělal vektorové je nejdříve vypočítat gradián.

Ten vypočítám pomocí derivací.

$P = 2y + 4z$ podle x

$Q=2x-3z$ podle y

$R=-3y+4x$ podle z

Ted mám vektorové pole a mohu zjistit zdali je nezřidlové, potenciální a nevírové.

Když provedu parciální derivace P,Q a R. Tak jsou rovny 0. Pole je tedy nezřídlové.

$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial 2y + 4z}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial 2x-3z}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial 3y+4x}{\partial z} = 0$
Když provedu rot f(x) =

$rot f(x) =$ $i(\frac{\partial -3y+4x}{\partial y}-\frac{\partial 2x-3z}{\partial z})+j(\frac{\partial 2y+4z}{\partial z}-\frac{\partial -3y+4x}{\partial x})+k(\frac{\partial 2x-3z}{\partial x}-\frac{\partial 2y+4z}{\partial y })$

Tak parciální derivace jsou 0. Takže je nevirové a když je nevírové tak je potenciální a má potenciál.

Potenciál vypočítm pomocí integrálů:

$\int_{}^{}P(x)dx =\int_{}^{}(2y+4z)dx = 2xy + 4xz +c1$

$\int_{}^{}Q (X) dx = \int_{}^{}(2x-3z)dy = 2xy-3yz + c2$

$\int_{}^{}R (x) dz = \int_{}^{}(-3x+4z) dz = -3xz + 4xz +c3$

Takže díky.