Matematické Fórum

h3r0 · 02. 06. 2009 09:22 — Editoval h3r0 (10. 06. 2009 15:13)

%

gadgetka · 02. 06. 2009 09:52

1a-3
b)
Pokud střed kružnice leží na ose y, musí být x-ová souřadnice nulová a po dosazení bodů, kterými kužnice prochází, se musí rovnat levá strana s pravou

lukaszh · 02. 06. 2009 09:58

↑ h3r0:
Ja si nemyslím, že existuje nejaký iný dôvod okrem "prejdenia cez prijímačky" na riešenie týchto príkladov. Je to elementárne zhrnutie stredoškolského učiva, ako to väčšinou na VUT býva. Ich testy sa mi veľmi páčia, pretože spravia akýsi prierez všetkým. Ak sa chystáš na VUT určite sa s matematikou stretneš aj po prijímačkách, takže by nebolo od veci začať pracovať s dostupnou literatúrou.

O kružnici na Wikipédii
O priamke na Wikipédii
Kopa príkladov na rovnice, samozrejme riešených

Cheop · 02. 06. 2009 09:58 — Editoval Cheop (02. 06. 2009 09:59)

↑ h3r0:
1a-11
Protože přímka prochází počátkem tj bodem (0,0) potom
z rovnice přímky y = kx +q plyne, že q = 0
k = (y1-y2)/(x1-x2)
k = (3-0)/(-2-0) = -3/2
y= -3x/2
3x + 2y =0 odpověď b)

gadgetka

1a-11
b)

$\vec{s}_p=(-2,3)\nl\vec{n}_p=(3,2)\nl3x+2y+c=0\nlA\in p:\qquad -6+6+c=0\nlc=0\nlp:\qquad3x+2y=0$

Dobře, opravila jsem to, děkuji.

lukaszh

↑ gadgetka:
Keď priamka prechádza počiatkom Oxy, potom nie je nutné počítať smerový vektor O-A, pretože samotný bod A možno chápať ako smerový vektor. Dokonca tam je chyba v znamienkach.

h3r0 · 02. 06. 2009 10:15

↑ lukaszh: mas pravdu, lenze v priebehu strednej skoly sem tam natrafis na lepsich ucitelov, sem tam horsich... samozrejme, ze aj z mojej strany to asi nebolo vzdy 100%ne, teda mam akesi "medzery".. z tych prikladov mi ide hlavne o postup pri rieseni rovnice kruznice, logaritmy a goniometria... s tym mam trochu problem, preto som tu pisal...

lukaszh · 02. 06. 2009 10:21

↑ h3r0:
Áno súhlasím, určite sa to bude pomaly riešiť. Sú tu na fóre aj pracovitejší účastníci ako ja :-) ktorí iste radi poradia. Ja som ti navrhol nejaké stránky s riešenými príkladmi, kde máš dobrú príležitosť skontrolovať si aj postup.

h3r0 · 02. 06. 2009 10:22

gadgetka napsal(a):
1a-3
b)
Pokud střed kružnice leží na ose y, musí být x-ová souřadnice nulová a po dosazení bodů, kterými kužnice prochází, se musí rovnat levá strana s pravou

to dosadenie bodov by si mohol trochu blizsie, teda presne opisat ? dik

Cheop · 02. 06. 2009 10:33 — Editoval Cheop (02. 06. 2009 10:35)

↑ h3r0:
Dosadíme do rovnice x^2+(y+5,5)^2 = 65/4 nejdříve bod A:(2,-2) a potom bod B(-4,-5)
bod A:
(-2)^2+(-2+5,5)^2 = 4+3,5^2=4 + 12,25 = 16,25 = 65/4
bod B
(-4)^2 + (-5+5,5)^2 = 16 +0,5^2 = 16,25 = 65/4
Pro oba body tedy rovnice platí.
Znamená to, že tato rovnice je hledanýnm řešením.
Kdybys dosadil body A B do ostatních rovnic, pak by oba body neležely na těchto kružnicích. (pro oba body současně by ty rovnice neplatily)

Cheop · 02. 06. 2009 10:39

↑ h3r0:
1b-7
$3\log(10x)=\log x-1\nl3\log 10+3\log x = \log x-1\nl3+1=-2\log x\nl\log x=-2\nlx=10^{-2}$
Odpověď d)

h3r0 · 02. 06. 2009 10:42

Cheop napsal(a):
↑ h3r0:
Dosadíme do rovnice x^2+(y+5,5)^2 = 65/4 nejdříve bod A:(2,-2) a potom bod B(-4,-5)
bod A:
(-2)^2+(-2+5,5)^2 = 4+3,5^2=4 + 12,25 = 16,25 = 65/4
bod B
(-4)^2 + (-5+5,5)^2 = 16 +0,5^2 = 16,25 = 65/4
Pro oba body tedy rovnice platí.
Znamená to, že tato rovnice je hledanýnm řešením.
Kdybys dosadil body A B do ostatních rovnic, pak by oba body neležely na těchto kružnicích. (pro oba body současně by ty rovnice neplatily)

to znamena, ze mam skusat azdy moznost a takto prijst k spravnemu rieseniu ? dik za riesenie, ale musi byt aj "spravnejsi" sposob, nie ? :D

Olin · 02. 06. 2009 10:50

No, "správnější". Kdybys neznal možné odpovědi, tak to můžeš určit tak, že určíš (analyticky) osu úsečky AB a její průsečík s osou y je střed hledané kružnice (protože AB je tětiva a osy všech tětiv prochází středem kružnice). To je ale postup poměrně zdlouhavý, rozhodně pomalejší než rozhodnutí, jestli je správná možnost b) nebo d).

Často, když znáš možné odpovědi, je rychlejší (a jednodušší) prostě ověřit, která z nich to je, než se snažit něco skutečně řešit.

gadgetka · 02. 06. 2009 10:57

1a-15
b)
$((x\cdot \sqrt{x})^{-1}\cdot \sqrt[3]{x^2})^{-2}=\sqrt[3]{(\frac{x^2}{3\sqrt{x}})^{-1}}\nl((x\cdot x^{\frac{1}{2}})^{-1}\cdot x^{\frac{2}{3}})^{-2}=$\frac{x^2}{3x^{\frac{1}{2}}}$^{-\frac{1}{3}}\nl(x^{-\frac{3}{2}+\frac{2}{3}})^{-2}=$\frac{3x^{\frac{1}{2}}}{x^2}$^{\frac{1}{3}}\nl(x^{-\frac{5}{6}})^{-2}=3^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{6}}\cdot x^{-\frac{2}{3}}\nlx^{\frac{10}{6}}=3^{\frac{1}{3}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\nl\frac{x^{\frac{10}{6}}}{x^{-\frac{1}{2}}}=3^{\frac{1}{3}}\nlx^{\frac{10+3}{6}}=3^{\frac{1}{3}}\nlx^{\frac{13}{6}}=3^{\frac{1}{3}}\qquad /^6\nlx^{13}=3^2\nlx=\sqrt[13]{3^2}=3^{\frac{2}{13}}$

Cheop · 02. 06. 2009 13:23 — Editoval Cheop (03. 06. 2009 10:55)

↑ h3r0:
1b-9
$2\sin\left(2x+\frac \pi6\right)=1$ substituce $2x+\frac \pi6=y$
$2\sin y=1\nl\sin y=\frac 12\nly_1=\frac{\pi}{6}+2k\pi\nly_2=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ vratka k substituci:
$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi\nl2x=0+2k\pi\nlx_1=0+k\pi$
$2x+\frac \pi6=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\nl2x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\nlx_2=\frac\pi3+k\pi$
Řešení: $x\in\left(0;\frac\pi3;\pi;\frac{4\pi}{3}\right)$

Odpověď e)

Cheop · 02. 06. 2009 14:22 — Editoval Cheop (02. 06. 2009 14:42)

↑ h3r0:
1b-18
$81^x-9^{x+1}=3\log_{3}\left(\frac{1}{27}\right)+3^{2x}\nl9^{2x}-9\cdot 9^x=9^x-9\nl9^{2x}-10\cdot 9^x+9=0$ substituce $9^x=y$
$y^2-10y+9=0\nly_1=9\nly_2=1$
$9^x=9\nlx_1=1\nl9^x=1\nlx_2=0$

Odpověď e)

PS: na toto $3\log_{3}\left(\frac{1}{27}\right)$ jsem použil toto: $\log_a\,x=\frac{\log_b\,x}{\log_b\,a}$ v našem případě: $a=3\nlx=\frac{1}{27}$

Po úpravě: $3\log_{3}\left(\frac{1}{27}\right)=-9$

gadgetka · 02. 06. 2009 16:55

1b-15
b)

$((\frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{a}})^{\frac{1}{4}}:\frac{2a^{-1}}{\sqrt[4]{2a^{-4}}})\cdot (\frac{3\sqrt[4]{a^{\frac{5}{2}}}\cdot(6a)^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt[6]{27}})^{-1}=\frac{a^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{1}{8}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}\cdot a^{-1}\cdot (3^3)^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{1}{4}}\cdot a^{\frac{1}{8}}\cdot 2\cdot 3\cdot a^{-1}\cdot (a^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{4}}\cdot (2\cdot 3)^{-\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{1}{2}}}=\frac{2^{(\frac{1}{8}+\frac{1}{4})}\cdot 3^{\frac{1}{2}}\cdot a^{(\frac{1}{4}-1)}}{2^{(\frac{1}{4}+1-\frac{1}{2})}\cdot 3^{(1-\frac{1}{2})}\cdot a^{(\frac{1}{8}-1+\frac{5}{8}-\frac{1}{2})}}=\frac{2^{\frac{3}{8}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{3}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{3}{4}}}=2^{-\frac{3}{8}}\cdot 3^0\cdot a^0=2^{-\frac{3}{8}}$

gadgetka · 02. 06. 2009 17:14

1b-11
d)
$\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1\nl\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\qquad /\cdot 6\nl3x+2y=6\nlp:\qquad 3x+2y-6=0$

gadgetka · 02. 06. 2009 17:44

1a-18
$3\cdot 2^{\log x}+8\cdot 2^{-\log x}=5\cdot (1+10\cdot \log \sqrt[5]{100})\nl3\cdot 2^{\log x}+8\cdot \frac{1}{2^{\log x}}=25\nls:\qquad 2^{\log x}=a\nl3a+\frac{8}{a}=25\qquad /\cdot a\nl3a^2-25a+8=0\nla_{1,2}=\frac{25\pm \sqrt{529}}{6}=\frac{25\pm 23}{6}\nla_1=8\nla_2=\frac{1}{3}\qquad \emptyset\nl2^{\log x}=8\nl2^{\log x}=2^3\nl\log x=3\nlx=10^3$

$1+10\cdot \log \sqrt[5]{100}=1+10\cdot \frac{1}{5}\log 100=1+2\cdot 2=5$

Podmínky:
$x>0\wedge x\ne 0$

h3r0 · 03. 06. 2009 10:26

Cheop napsal(a):
↑ h3r0:
1b-9
$2\sin\left(2x+\frac \pi6\right)=1$ substituce $2x+\frac \pi6=y$
$2\sin y=1\nl\sin y=\frac 12\nly_1=\frac \pi6\nly_2=\frac{5\pi}{6}$ vratka k substituci:
$2x+\frac \pi6=\frac\pi6\nl2x=0\nlx_1=0+k\pi$
$2x+\frac \pi6=\frac{5\pi}{6}\nl2x=\frac{2\pi}{3}\nlx_2=\frac\pi3$
Řešení: $x\in\left(0;\frac\pi3;\pi\right)$

Odpověď d)

vo vysledkoch je spravne E, cize { $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=0%2C%20\pi%2F3%20%2C%20\pi%20%2C%204\pi%20%2F3$ } ... ako sa k tomu dostat ?? ...

h3r0 · 03. 06. 2009 10:34

gadgetka napsal(a):
1b-11
d)
$\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1\nl\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\qquad /\cdot 6\nl3x+2y=6\nlp:\qquad 3x+2y-6=0$

dik.. aky je to na zaciatku vztah?

" x/p + y/q = 1 "

musixx · 03. 06. 2009 10:34 — Editoval musixx (03. 06. 2009 10:38)

↑ h3r0: Nemohu souhlasit s tou "vartkou k substituci" od ↑ Cheop:. Nelze preci kdesi v prubehu vypoctu vycarovat $+k\pi$ !!! Uz ty ypsilony jsou urceny s "klasickym" $+2k\pi$ , odkud vse plyne. Spravne tedy je:
$2x+\frac\pi6=\frac\pi6+2k\pi\ \Rightarrow\ x_1=k\pi$
$2x+\frac\pi6=\frac{5\pi}6+2k\pi\ \Rightarrow\ x_2=\frac\pi3+k\pi$ , tedy zejmena i reseni pro k=1, tedy $\frac{4\pi}3$ je spravne.

Cheop · 03. 06. 2009 10:40 — Editoval Cheop (03. 06. 2009 10:56)

↑ musixx:
Ano máš pravdu.
Nechal jsem se unést tím, že jsem nezkontroloval řešení pro 4 pi/3
To je tak když si to člověk nenapíše i s tou periodou.
Už jsem to spravil.

Cheop · 03. 06. 2009 10:57 — Editoval Cheop (03. 06. 2009 10:58)

↑ h3r0:
Máš to v mém příspěvku opraveno ( v tom původním - příspěvek 15)

musixx · 03. 06. 2009 10:57

1a-17:
$2\cos^2x=3\sin x$
$2(1-\sin^2 x)=3\sin x$
$2\sin^2x+3\sin x-2=0$
$\sin x=\frac{-3\pm5}4$ , ale -2 je mimo obor hodnot realneho sinu, tedy
$\sin x=\frac12$ , odkud $x_1=\frac\pi6$ a $x_2=\frac{5\pi}6$ , chceme-li reseni pouze na intervalu $\langle0;2\pi\rangle$ .

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2009 09:22 — Editoval h3r0 (10. 06. 2009 15:13)

Prijmacky na FIT VUTBr

#2 02. 06. 2009 09:52

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#3 02. 06. 2009 09:58

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#4 02. 06. 2009 09:58 — Editoval Cheop (02. 06. 2009 09:59)

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#5 02. 06. 2009 10:03 — Editoval gadgetka (02. 06. 2009 11:08)

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#6 02. 06. 2009 10:07 — Editoval lukaszh (02. 06. 2009 10:08)

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#7 02. 06. 2009 10:15

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#8 02. 06. 2009 10:21

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#9 02. 06. 2009 10:22

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

gadgetka napsal(a):

#10 02. 06. 2009 10:33 — Editoval Cheop (02. 06. 2009 10:35)

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#11 02. 06. 2009 10:39

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#12 02. 06. 2009 10:42

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

Cheop napsal(a):

#13 02. 06. 2009 10:50

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#14 02. 06. 2009 10:57

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#15 02. 06. 2009 13:23 — Editoval Cheop (03. 06. 2009 10:55)

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#16 02. 06. 2009 14:22 — Editoval Cheop (02. 06. 2009 14:42)

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#17 02. 06. 2009 16:55

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#18 02. 06. 2009 17:14

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#19 02. 06. 2009 17:44

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#20 03. 06. 2009 10:26

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

Cheop napsal(a):

#21 03. 06. 2009 10:34

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

gadgetka napsal(a):

#22 03. 06. 2009 10:34 — Editoval musixx (03. 06. 2009 10:38)

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#23 03. 06. 2009 10:40 — Editoval Cheop (03. 06. 2009 10:56)

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#24 03. 06. 2009 10:57 — Editoval Cheop (03. 06. 2009 10:58)

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

#25 03. 06. 2009 10:57

Re: Prijmacky na FIT VUTBr

Zápatí