Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 08. 01. 2020 18:38 — Editoval jelena (09. 01. 2020 17:08)

Pomeranc
Příspěvky: 594
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Výpočet reziduí

Ahoj,

snažila jsem se spočítat nějaké příklady na rezidua a s některými si nevím rady.
a) $z^{3}*\cos (1/(z-2))$

Je vidět, že tato fce má singularitu ve 2. Když počítám limitu, kde z jde do 2, tak zjistím, že limita neexistuje.
Tedy je to podstatná singularita. Myšlenka byla, že bych to měla rozvést do Laurentovy řady a vzít -1.člen.
Nevím, jestli je to ekvivalentní, ale vzala jsem řadu pro cos x a dosadila 1/(z-2).
Vyšlo mi
$cos(\frac{1}{z-2})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n)!}*\frac{1}{(z-2)^{2n}}*(-1)^{n+1}$
A pak už jsem si nevěděla rady :(

b)$\frac{e^{z}}{z\cdot (1-e^{-z})}$

Fce má dvě singularity 0 a 2k(Pi)i  ,k náleží Z bez 0. 2k(Pi)i je jednonásobný pól, výpočet ok.
0 je dvojnásobný  pól a s výpočtem jsem měla problém vzala jsem
$\lim_{z\to0} \(\frac{z\cdot e^{z}}{z\cdot (1-e^{-z})}\)^\prime= \lim_{z\to0} \frac{e^{z}+z\cdot e^{z}-1}{{(1-e^{-z})^{2}}}$
a přijde mi, že to nějak dál nevede.

Máte nějaký nápad do s tím?

Edit: nějak mi to tu limitu nechce zobrazit. V náhledu to fungovalo, napsala jsem tam toto:
\lim_{z\to0} (\frac{z*e^{z}}{z*(1-e^{-z})})´= \lim_{z\to0} \frac{e^{z}+z*e^{z}-1}{{(1-e^{-z})^{2}}}

Jelena: edit TeX: znak derivace ^\prime, násobení \cdot viz TeX guru Marian + editor TeX napravo od okna zprávy

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Pomeranc)

#2 09. 01. 2020 18:07

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Výpočet reziduí

Zdravím,

u 2. jsem opravovala TeX (souhlasí s tím, co jsi potřebovala zapsat?), výpočet derivace se mi nezdá v pořádku, překontroluj, prosím.
Podstatnější bude využití vzorce pro výpočet rezidua pro pol 2. řádu, zkontroluj, prosím, v materiálech, já bych zapsala jako $\lim_{z\to0} \(\frac{(z-0)^2\cdot e^{z}}{z\cdot (1-e^{-z})}\)^\prime$ (1/(2-1)! jsem do vzorce nedopsala, ale to jasné). Souhlasí?
Děkuji.

Offline

 

#3 09. 01. 2020 19:15

Pomeranc
Příspěvky: 594
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: Výpočet reziduí

↑ jelena:


Díky, ano, souhlasí to s tím, co jsem chtěla zapsat, matematicky to nesouhlasí, protože jsem se přepsala.
Když jsem zderivovala, ten tvůj správný výraz, tak mi v čitateli vyšlo navíc -2z .

Offline

 

#4 09. 01. 2020 22:01

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Výpočet reziduí

↑ Pomeranc:

dobře, ale i tak mně po úpravě a derivování vychází jinak, upravila jsem na $\(\frac{z\cdot e^{2z}}{e^{z}-1}\)^\prime$, derivace pro kontrolu WA. Souhlasí? Děkuji.

Offline

 

#5 09. 01. 2020 22:39

Pomeranc
Příspěvky: 594
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: Výpočet reziduí

↑ jelena:

Mně teď wolfram alpha nefunguje, tak jsem to napsala do Mathematicy.
Vyšlo:

//forum.matematika.cz/upload3/img/2020-01/05829_jelena.PNG

Tedy, když jsem se opravila, tak mi to vychází shodně s Mathematicou (viz. do čitatele jsem doplnila -2z).

Offline

 

#6 09. 01. 2020 23:11

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Výpočet reziduí

↑ Pomeranc:

ano, to již se shodujeme. Pro limitu jsem opět použila WA :-) (snad se i Tobě rozběhne, výsledek je 3/2), tipuji, že na 2 l´Hospital to bude dosažitelné.
Je tak? Děkuji.

Offline

 

#7 10. 01. 2020 00:52

Pomeranc
Příspěvky: 594
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: Výpočet reziduí

↑ jelena:

Jj, tím 2* l´H by to mělo jít spočítat. Sice já tam mám numerickou chybu, ale Mathematica s tebou souhlasí.
Wolfram si nefunguje cca 3 měsíce, tedy nejsem moc optimistická, že by se mi měl rozběhnout.

Děkuji za pomoc s příkladem :) .


Bohužel ještě zbývá ten cosinus...

Offline

 

#8 10. 01. 2020 17:24

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Výpočet reziduí

↑ Pomeranc:

Zdravím a také děkuji,
tento WA nefunguje? To by se mi zdálo velmi zvláštní (podrobný postup řešení je, tuším komerční a s registraci, ale výsledek (což pro kontrolu stačí) dává ve 3 prohlížečích a na 2 PC, co jsem teď vyzkoušela). Nemohla jsi nějak nastavit blokování stránky, popř. zkus vyčistit historii a také přidej náhled, co to píše, když nefunguje - nejlépe do sekce pro CAS.

Pro 1. úlohu se podívej do odkazu, je to dost přehledné. Stačí tak? Děkuji.

Offline

 

#9 10. 01. 2020 20:21

Pomeranc
Příspěvky: 594
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: Výpočet reziduí

↑ jelena:

Ano, ten mi nefungoval. Vyzkoušela jsem to i v jiném prohlížeči, tam mi to už šlo.
Do té sekce hodím obrázek, co mi to psalo.

Určitě to stačí. Ten postup se substitucí k tomu výsledku vede.
Ještě jednou děkuji :) .

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson