Matematické Fórum

byk7 · 13. 01. 2020 00:53

Zdravím,

mějme následující větu.

Nechť jsou maticová funkce $A$ a vektorová funkce $b$ spojité na intervalu $I\subseteq\mathbb R$ . Pak má počáteční problém $x'=A(t)\,x+b(t), x(t_0)=\xi$ právě jedno řešení, které existuje na celém intervalu $I$ , které získáme jako limitu následující posloupnosti
(i) $\varphi_0\equiv0$ ,
(ii) $\varphi_{k+1}(t)=\xi+\int_{t_0}^t$A(s)\varphi_k(s)+b(s)$\d s$ pro $k\ge0$ .

Důkaz existence, který mám k dispozici, má dvě části.
(1) ukáže se existence limity $\lim_{k\to\infty}\varphi_k(t)=\varphi(t)$ pro libovolné $t\in I$ ,
(2) ukáže se $\varphi_k\rightrightarrows\varphi$ ke zdůvodnění rovnosti
$\lim_{k\to\infty}\int_{t_0}^t(A(s)\varphi_k(s)+b(s))\d s=\int_{t_0}^t(A(s)\varphi(s)+b(s))\d s$ .

Mám problém hlavně s druhou částí. (Předpokládejme, že máme dokázané (1).)
Označme
$\alpha(t)=\left|\int_{t_0}^t\|A(s)\|\d s\right|$
$\beta(t)=\max_\tau\{\left|\xi+\int_{t_0}^\tau b(s)\d s\right|;\min(t_0,t)\leq\tau\leq\max(t_0,t)\}$
Věřím tomu, že
(3) $\|\varphi(t)-\varphi_k(t)\|\leq\beta(t)\cdot\frac{\alpha^k(t)}{k!}\cdot\operatorname{e}^{\alpha(t)}$

A teď se tvrdí:
Protože funkce $\alpha,\beta$ jsou ohraničené na každém kompaktním podintervalu $K\subseteq I$ -- jasně, když jsou obě spojité na $I$ -- plyne z nerovnosti (3) $\varphi_k\rightrightarrows\varphi$ na $K$ a $\varphi$ je spojitá (na K).
Jak prosím z (3) plyne stejnoměrná konvergence? Měl jsem za to, že se nějak používá Weierstrassovo kritérium, ale nepovedlo se mi to na něj napasovat (už kvůli tomu, že to ohraničení ve (3) není konstatní).

Důkaz pokračuje tím, že se ukáže pomocí nějaký odhadů, že
$\left|\int_{t_0}^tA(s)\varphi_k(s)\d s-\int_{t_0}^tA(s)\varphi(s)\d s\right|\to0$ pro každé $t\in K$ , když $k\to\infty$ .
Tomu zase veřím, ale následuje:
Protože tvrzení platí pro každý kompaktní podinterval $K\subseteq I$ , je $\varphi$ řešením na celém $I$ .
Opět, proč? Mám pocit, že argument "platí pro každý kompaktní podinterval $\Rightarrow$ platí pro celý interval" vidím prvně a ani mu moc nevěřím. (Řekl bych, že $x/n\rightrightarrows 0$ na každém kompaktním intervalu, ale už ne na celé reálné ose.)

Bati · 13. 01. 2020 01:34

↑ byk7:
ad1) omezenost $\alpha,\beta$ a (3) dava $\|\varphi(t)-\varphi_k(t)\|\leq\beta(t)\cdot\frac{\alpha^k(t)}{k!}\cdot\operatorname{e}^{\alpha(t)}\leq \frac{C^k}{k!}$

ad2) Sporem. Tvrzeni je, ze to je reseni na celem I, ne ze ta posloupnost konverguje stejnomerne na I

byk7 · 13. 01. 2020 02:32

ad 2) Jo, to už mi smysl dává.

ad 1) Ale tady jsem asi čím dál víc zmatený. Co přesně mi ten odhad dává? Jestli tomu správně rozumím, tak bych chtěl směřovat k vyjádření $\varphi=\sum_{k\ge0}\varphi_{k+1}-\varphi_k$ , ne? Ale to jaksi nevidím..

Bati · 13. 01. 2020 10:14

↑ byk7:
Ted nechapu v cem je problem...proc
$\|\varphi(t)-\varphi_k(t)\|\leq \frac{C^k}{k!}$
znamena stejnomernou konvergenci? Protoze $\frac{C^k}{k!}\to0$ a nezavisi na t, tj. pro kazdy $\epsilon$ najdu k0, aby $\frac{C^k}{k!}<\epsilon$ pro vsechny k>k0 a potom z odhadu dostavam
$\|\varphi(t)-\varphi_k(t)\|<\epsilon$
pro vsechna $t\in K$ .

byk7 · 13. 01. 2020 12:20

Jo, jasné. :) Přímo definice stejnoměrné konvergence. Díky.

Matematické Fórum

#1 13. 01. 2020 00:53

Existence a jednoznačnost řešení systému lineárních dif. rovnic

#2 13. 01. 2020 01:34

Re: Existence a jednoznačnost řešení systému lineárních dif. rovnic

#3 13. 01. 2020 02:32

Re: Existence a jednoznačnost řešení systému lineárních dif. rovnic

#4 13. 01. 2020 10:14

Re: Existence a jednoznačnost řešení systému lineárních dif. rovnic

#5 13. 01. 2020 12:20

Re: Existence a jednoznačnost řešení systému lineárních dif. rovnic

Zápatí