Matematické Fórum

surovec

Zdravím, mám takový nepříjemný příklad:
Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen:
$a_n=\frac{1}{n\left(n+1\right)}$
Určete rekurentní vyjádření...

vlado_bb · 20. 01. 2020 19:17

↑ surovec: Vitaj vo fore a vsimni si pravidla

check_drummer · 20. 01. 2020 19:23

↑ surovec:
Ahoj, co třeba $a_n=\frac{1}{n\left(n+1\right)}+0.a_{n-1}$ ?
A nebo $a_n=\frac{1}{n\left(n+1\right)}+a_{n-1}-\frac{1}{(n-1)n}$ ?

surovec · 20. 01. 2020 19:44

↑ check_drummer:
Víš, co je rekurentní vyjádření? To je vyjádření pomocí předchozího členu (členů). Pokud je to vyjádření pomocí pořadí členu v posloupnosti, jde o vzorec pro n-tý člen. To, co jsi napsal, je de facto vzorec pro n-tý člen.

vlado_bb · 20. 01. 2020 19:50

↑ surovec: Ubezpecujem ta, ze ↑ check_drummer: to vie. Jeho prispevok len inymi slovami hovori to, co moj - precitaj si pravidla. Specialne cast o uvedeni vlastneho pokusu o riesenie a popisu, s cim konkretne mas problem. Inak sa dockas toho, ze odpovedajuci vlozi do svojej odpovede asi tolko energie, ako ty do formulacie otazky, ako si prave videl na prispevku ↑ check_drummer:.

Ale aby sme sa teda posunuli - skus vyraz pre $a_n$ rozlozit na parcialne zlomky.

surovec · 20. 01. 2020 19:55

↑ vlado_bb:
No já právě nevěděl vůbec, jak na to. Proto jsem k tomu nic vlastního nenapsal.
Budiž: rozklad je $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ . Ale nechápu, k čemu mi to pomůže...

vlado_bb

↑ surovec: No a teraz nas zaujima $a_{n+1}-a_n$ , pripadne $a_{n+1}+a_n$ . Ina moznost je vsimnut si podiel dvoch po sebe iducich clenov postupnosti. Neexistuje jednoznacny postup, chce to trochu tvorivosti.

surovec

↑ vlado_bb:
Obávám se, že vůbec nechápu, co tím chceš naznačit... Když to odečtu, mám $\frac{2}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n}=-\frac{2}{n(n+1)(n+2}$ , když to sečtu mám $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{2}{n(n+2)}$ ...
Jak to s tím dál souvisí?

vlado_bb · 20. 01. 2020 20:21

↑ surovec: No ale v zadani nie je pozadovana linearna rekurentna formula, alebo ano?

surovec · 20. 01. 2020 20:22

↑ vlado_bb:
Není, nic takového jsem nepsal.

vlado_bb · 20. 01. 2020 20:26

↑ surovec: No prosim, takze to mame vyriesene.

moab · 20. 01. 2020 20:35

Hele, třeba takto:
$a_{n+2}=\frac{\left(a_n-a_{n+1}\right)^2}{2a_n\left(3a_n-a_{n+1}\right)},\,a_1=\frac{1}{2},\,a_2=\frac{1}{6}$
Pokud by to mělo být pomocí bezprostředně předcházejícího členu tak např. takto:
$a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+\sqrt{a_n\left(a_n+4\right)}+1},\,a_1=\frac{1}{2}$

vlado_bb · 20. 01. 2020 20:45

↑ moab: Elegantne, ale ↑ surovec: sa zrejme uspokoji aj s tym, na co uz sam prisiel, nakoniec aj Wikipedia uvadza na https://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation ako rekurentnu formulu $a_n=\varphi(n,a_{n-1})$ .

surovec · 20. 01. 2020 20:49

↑ moab:
Super, vypadá to, že to funguje!
A jak jsi na to přišel? Jestli to teda můžeš vysvětlit nějak polopaticky...

moab · 20. 01. 2020 20:57

↑ surovec:
Vykašli se na nějaký rozklady na parciální zlomky. Prostě z toho zadaného vzorce vyjádři $n$ (kvadratická rovnice) a pak to dosaď do vzorce pro $a_{n+1}$ .
Pokud použiješ dva předchozí členy, dej je do podílu a opět vyjádři $n$ , tentokrát to bude pouze lineární rovnice. A dosaď do vzorce pro $a_{n+2}$ ...

surovec · 20. 01. 2020 21:09

↑ moab:
Dík moc!!!

check_drummer · 20. 01. 2020 21:47

A co je špatné na mém druhém vztahu, což je po úpravě
$a_n=a_{n-1} - \frac{2}{(n-1)n(n+1)}$ ?
(a1=1/2)

surovec · 20. 01. 2020 21:54

↑ check_drummer:
Jednak to, že $a_{n-1}=\frac{1}{n(n-1)}$ (a tím pádem se druhý a třetí člen odečtou, takže je to pořád jen původní vzorec pro n-tý člen) a druhak to, že (pominu-li fakt v závorce) nejde o rekurentní vyjádření, ale jakýsi hybrid mezi vzorcem pro n-tý člen a rekurentním vyjádřením, který postrádá výhody obou způsobů (člen nespočítám ani pouze z jeho pořadí, ani pouze z předchozího členu) a je tedy k ničemu...

misaH · 21. 01. 2020 08:27 — Editoval misaH (21. 01. 2020 10:16)

↑ surovec:

No.

Mladý muž, brzdi...

Ja tam vidím napísané, že druhý člen dostaneš tak, že od prvého odrátaš jednu tretinu.

Tretí dostaneš tak, že od druhého odrátaš 1/12.

Čo iné treba?

Všetko tam je...

Keď člen nespočítáš, to je tvoja chyba. Možno si si nevšimol doluuvedenú hodnotu prvého člena...

$a_{n-1}$ je člen pred členom $a_n$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-01/92017_20200121_083211.jpg

surovec · 21. 01. 2020 10:49

↑ misaH:
Není mi jasné, co svým příspěvkem chceš říct a na co přesně reaguješ. Každopádně check_drummerovy formule nejsou rekurentní, neboť potřebují k výpočtu znalost POŘADÍ předcházejícího členu. Což jde proti smyslu rekurentního určení posloupnosti – viz tebou uvedená definice.

jarrro · 21. 01. 2020 11:26 — Editoval jarrro (21. 01. 2020 11:41)

↑ surovec:keď vieš, že chceš počítať 2345. člen prečo by si nemohol využiť poznatok, že ide o 2345. člen? Že niečo závisí (nekonštantne) na niečom inom, neznamená, že to závisí, IBA na tom niečom inom.
(predstav si, že by ti povedali iba, že postupnosť $$a_n$_{n=1}^{\infty}$ spĺňa $a_1=\frac{1}{2}, a_{n+1}=a_n-\frac{2}{n$n+1$$n+2$}$ . Vedel by si OKAMŽITE BEZ ROZMÝŠĽANIA zistiť, že ide o postupnosť $a_n=\frac{1}{n$n+1$}$ ?)

surovec · 21. 01. 2020 12:14

↑ jarrro:
Kdybych měl spočítat 2345. člen pomocí této formule, tak bych musel znát hodnotu 2344. členu. A na ten bych musel znát zase 2343. A tak dále. Docela pracný, ne? Kdybych chtěl 2345. člen, tak prostě vezmu vzorec pro n-tý člen a dosadím, hotovo. A když vím jen nějaký člen (nevím, kolikátý je), tak vezmu rekurentní vyjádření a hnedle mám výsledek. Ten hybrid výše je k ničemu, protože k výpočtu dalšího členu musím mít obě informace (nebo přinejmenším musím jednu z těch informací dopočítat).
Lépe to pochopíš na příkladu:
Je dán (hnusný) hybridní vzorec:
$a_{n+1}=a_n+2n+1,\,a_1=2$
a) Určete 68. člen.
b) Víte, že jeden ze členů posloupnosti má hodnotu 1370. Určete následující člen.
Už rozumíš tomu, jak jsou tyto hybridy nesmyslné?

Ferdish

↑ surovec:
Ale však o tom ti už predsa písala kolegyňa ↑ misaH: v tom vyrezanom odstavci: na určenie ľubovoľného $n$ -tého člena rekurentne určenej postupnosti potrebujeme vedieť/vypočítať VŠETKY predchádzajúce členy, pričom je na začiatku daný len jeden alebo niekoľko prvých členov. Áno, vie to byť pracné, najmä ak je $n$ nejaké vysoké číslo. Ale to je proste vlastnosť rekurentne určenej postupnosti.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jarrro · 21. 01. 2020 12:45

nie sú nezmyselné. (Fakt, že niektoré úlohy (napr. tvoja b)) sa najrýchlejšie vyrieši vyriešením danej diferenčnej rovnice nespôsobuje nezmyselnosť)

misaH · 21. 01. 2020 13:16 — Editoval misaH (21. 01. 2020 13:17)

↑ Ferdish:

Ahoj - obávam sa, že zadávateľ absolútne nerozumie pojmu rekurentne zadaná postupnosť.

Údajne všetko sa dá vysvetliť, ale nie každému.

Nech si teda robí , čo chce, on bude škodovať.

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2020 18:36 — Editoval surovec (20. 01. 2020 18:37)

Rekurentní vyjádření posloupnosti

#2 20. 01. 2020 19:17

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#3 20. 01. 2020 19:23

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#4 20. 01. 2020 19:44

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#5 20. 01. 2020 19:50

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#6 20. 01. 2020 19:55

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#7 20. 01. 2020 19:59 — Editoval vlado_bb (20. 01. 2020 20:00)

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#8 20. 01. 2020 20:12 — Editoval surovec (20. 01. 2020 20:13)

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#9 20. 01. 2020 20:21

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#10 20. 01. 2020 20:22

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#11 20. 01. 2020 20:26

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#12 20. 01. 2020 20:35

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#13 20. 01. 2020 20:45

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#14 20. 01. 2020 20:49

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#15 20. 01. 2020 20:57

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#16 20. 01. 2020 21:09

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#17 20. 01. 2020 21:47

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#18 20. 01. 2020 21:54

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#19 21. 01. 2020 08:27 — Editoval misaH (21. 01. 2020 10:16)

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#20 21. 01. 2020 10:49

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#21 21. 01. 2020 11:26 — Editoval jarrro (21. 01. 2020 11:41)

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#22 21. 01. 2020 12:14

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#23 21. 01. 2020 12:43 — Editoval Ferdish (21. 01. 2020 12:44)

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#24 21. 01. 2020 12:45

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

#25 21. 01. 2020 13:16 — Editoval misaH (21. 01. 2020 13:17)

Re: Rekurentní vyjádření posloupnosti

Zápatí