Matematické Fórum

Andrew123 · 24. 01. 2020 18:10

Ahoj,
mam dotaz k elementarnim dukazum odmocniny. V ucebnici k prikladu nejsou vysledky/reseni, tak bych chtel nekoho poprosit, zda by na to kouknul a popripadne opravil, protoze ve skole jsme to nepocitali. Jedna se o nasledujici 4 obdobne varianty:

Dokazte tyto vety:
a) pro vsechna $n \in N$ je $\sqrt[n]{0}=0$ .
b) pro vsechna $n \in N$ je $\sqrt[n]{1}=1$ .
c) pro vsechna $a \in R^+\cup\{0\}$ je $\sqrt[n]{a}=a$ .
d) pro vsechna $n \in N$ a pro vsechna $a \in R^+$ je $\sqrt[n]{a}>0$ .

Me reseni:
a) Plati nasledujici definice: Pro libovolné $n \in N$ definujeme n-tou odmocninu z nezáporného reálného čísla $x$ jako nezáporné reálné číslo $y$ , pro ktere plati $y^{n}=x$ , coz znacime jako $\sqrt[n]{x}=y$ . Dukaz bych provedl podle definice, cili nasledovne. 0 je nezaporne realne cislo, takze to vyhovuje definici a muzeme proto psat specialni pripad, ze $0^{n}=0$ $\Rightarrow$ $\sqrt[n]{0}=0$ . Hotovo.
b) obdobne jako a), tj. podle definice napiseme, 1 je realne nezaporne cislo, takze plati $1^{n}=1$ , coz znacime jako $\sqrt[n]{1}=1$ . Hotovo.
c) obdobne jako a) a b). $a^1=a$ , coz znacime take jako $\sqrt[1]{a}=a$ . Hotovo.
d) Neni co dokazovat. Primo v definici se uvadi, ze je y nezaporne cislo. Hotovo.

Je to jen moje reseni.. Prijde mi taknak, ze jsem vlastne nic nedokazal.., protoze mi prijdou dokazovane vlastnosti zrejme.. Je myslenka dukazu spravna?

Diky

A.

vlado_bb · 24. 01. 2020 19:00

↑ Andrew123: Je to v poriadku, len v bode c mas v zadani preklep, namiesto $n$ ma zrejme byt $1$ .

MichalAld

Podle mě důkaz bodu b) není tak jednoduchý ... a osobně bych řekl, že to vlastně dokázat nejde. Protože třeba $\sqrt[2]{1}$ může být stejně tak dobře 1 jako -1, a nelze nijak dokázat, co z toho je pravda ... muselo se to zvolit dohodou...

Pokud bychom uvažovali i komplexní čísla, podaří se nám pro $\sqrt[n]{1}$ najít dokonce n takových čísel, která po umocnění na n-tou dají jedničku. Ale beru, že se můžeme bavit jen o reálných číslech - nicméně ten problém s +- jedničkou pro sudé odmocniny tu zůstává...

To samé je vlastně bod d)

Andrew123 · 25. 01. 2020 21:11

↑ vlado_bb:

Ahoj, je to opravdu preklep a diky za feedack..:-)

Andrew123 · 25. 01. 2020 21:33

↑ MichalAld:

Ahoj, dekuji za tvuj komentar. Mohl bys prosim vice rozvest tu situaci v b), respektive d)? Myslis to tak, ze by melo byt spravne v zadani neco jako "Dokazte, ze pro kazdou sudou odmocninu z 1 je $|1|$ "? Protoze pro liche odmocniny se to stat nemuze.. Jinak ten priklad je z te klasicke ucebnice pro gymnazia Funkce - nakladatelstvi Prometheus, autor Odvarko. Priklad nema hvezdicku, takze neni zarazen ani jako obtizny, takze nevim, proc to maji napsano takhle.

MichalAld · 25. 01. 2020 22:22

↑ Andrew123:
Já nevím, já nejsem matematik...jen tuším, že žádný důkaz toho, že $\sqrt{1}$ je zrovna 1 a né -1 nemůže existovat, že to bylo zvoleno dohodou...

V matematice (narozdíl od programovacích jazyků) musí funkce "vracet" jen jednu hodnotu ... takže se z těch dvou musela jedna vybrat (a přirozeně to byla ta kladná). Ale vůbec nic by se nejspíš nestalo, kdyby se vybrala ta záporná...

Stejný problém má i mnoho jiných inverzních funkcí, vlastně vždycky, když původní funkce není prostá ... tj když dvěma různým x přiřazuje stejné y. Například sin(x).

MichalAld · 25. 01. 2020 22:24

Nejspíš se to řeší tím, že odmocnina je invezní funkcí k mocnině na intervalu $x \in <0, \infty)$ , pak je tudíž jasné, že x nemůže být menší než 0.

misaH · 26. 01. 2020 06:45 — Editoval misaH (26. 01. 2020 06:46)

↑ MichalAld:

Ahoj.

Vychádza sa čiste z definície.

Odmocnina z prirodzených čísel nie je záporná nikdy. Z definície.

... odmocninu z nezáporného reálného čísla $x$ jako nezáporné reálné číslo $y$ , ...

vlado_bb · 26. 01. 2020 08:29

MichalAld napsal(a):
třeba $\sqrt[2]{1}$ může být stejně tak dobře 1 jako -1, a nelze nijak dokázat, co z toho je pravda ... muselo se to zvolit dohodou...

Presne tak, ta dohoda je definicia. Druha odmocnina z 1 je 1.

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2020 18:10

Dukaz vlastnosti n-te odmocniny

#2 24. 01. 2020 19:00

Re: Dukaz vlastnosti n-te odmocniny

#3 24. 01. 2020 22:06 — Editoval MichalAld (25. 01. 2020 00:06)

Re: Dukaz vlastnosti n-te odmocniny

#4 25. 01. 2020 21:11

Re: Dukaz vlastnosti n-te odmocniny

#5 25. 01. 2020 21:33

Re: Dukaz vlastnosti n-te odmocniny

#6 25. 01. 2020 22:22

Re: Dukaz vlastnosti n-te odmocniny

#7 25. 01. 2020 22:24

Re: Dukaz vlastnosti n-te odmocniny

#8 26. 01. 2020 06:45 — Editoval misaH (26. 01. 2020 06:46)

Re: Dukaz vlastnosti n-te odmocniny

#9 26. 01. 2020 08:29

Re: Dukaz vlastnosti n-te odmocniny

MichalAld napsal(a):

Zápatí