Matematické Fórum

tamrin · 23. 03. 2020 21:38 — Editoval tamrin (23. 03. 2020 21:43)

Dobrý den,
potřeboval bych prosím pomoci s pochopením tohoto důkazu.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-03/95620_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek3.PNG

Jediná věc, která mi chybí k pochopení, je proč Q nabývá na S svého minima.

Chápu, že zmíněna sféra je množinou bodů, vzniklých jako koncové body vektorů s normou 1.
I když vím že je tato sféra kompaktní a funkce Q spojitá, nějak mi to k pochopení nestačí.

Vím, že $Q(h)=h^{T}Ah=a_{11}h_{1}^{2}+(a_{12}+a_{21})h_{1}h_{2}+a_{22}h_{2}^{2}$

Pokud by matice A byla jednotková, pak
$Q(h)=h^{T}h=||h||^{2}=h_{1}^{2}+h_{2}^{2}$
Měl bych využít jednotkovou nebo se pracuje s obecnou maticí?

prosím poraďte, předem děkuji :)

Stýv · 23. 03. 2020 22:32

Pokud vím, to, že spojitá funkce nabývá na kompaktní množině minimum (i maximum), říká nějaká věta.

tamrin · 23. 03. 2020 23:10

↑ Stýv:
Aha, děkuji.

Hledal jsem podle Vaší rady a našel jsem Weierstrassovu větu, tam se ale hovoří o intervalu - nejspíš to ale mohu zobecnit na množinu bodů.
https://cs.wikipedia.org/wiki/Weierstrassova_v%C4%9Bta

Předpokládám, že tedy musím brát pouze jednotkovou matici a musí tedy platit $Q(h)=||h||^{2}=1$ ?

Stýv · 23. 03. 2020 23:44

tamrin napsal(a):
Předpokládám, že tedy musím brát pouze jednotkovou matici a musí tedy platit $Q(h)=||h||^{2}=1$ ?

Nic takového předpokládat nemůžeš. Za prvé Q je obecná poz. def. forma, za druhé jsme v R^n, nikoli R^2.

tamrin · 23. 03. 2020 23:57

Dobře, snad už to dám nějak dohromady.

Děkuji moc.

Bati · 24. 03. 2020 01:28 — Editoval Bati (24. 03. 2020 01:33)

Obecne (i napr. v topologickych VP) plati, ze spojite zobrazeni prevadi kompaktni mnoziny na kompaktni, coz je vetsinou videt skoro hned z definice (podle toho jakou vezmeme). Kompaktni mnoziny v R^d jsou prave ty, ktere jsou omezene a uzavrene podle Heine-Borelovy vety. Specialne v R jsou to tedy uzavrene intervaly, ktere maji vzdy minimum a maximum.

V tvem pripade si to minimum muzes snadno zkonstruovat... vezmes infimum Q pres tu kouli, ukazes, ze je konecne, pouzijes kompaktnost, vyberes podposloupnost a zkonvergujes diky spojitosti

tamrin · 24. 03. 2020 09:48

↑ Bati:
Také děkuji.

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2020 21:38 — Editoval tamrin (23. 03. 2020 21:43)

Důkaz s jednotkovou sférou.

#2 23. 03. 2020 22:32

Re: Důkaz s jednotkovou sférou.

#3 23. 03. 2020 23:10

Re: Důkaz s jednotkovou sférou.

#4 23. 03. 2020 23:44

Re: Důkaz s jednotkovou sférou.

tamrin napsal(a):

#5 23. 03. 2020 23:57

Re: Důkaz s jednotkovou sférou.

#6 24. 03. 2020 01:28 — Editoval Bati (24. 03. 2020 01:33)

Re: Důkaz s jednotkovou sférou.

#7 24. 03. 2020 09:48

Re: Důkaz s jednotkovou sférou.

Zápatí