Matematické Fórum

X3R0Cz · 12. 04. 2020 12:33

Ahoj, chtěl bych poprosit o radu s tímto příkladem:

Vypočítejte integrál pomocí parciálních zlomků: $\int_{}^{}\frac{x^{3}+2x^{2}+x+1}{x^{2}+x}dx$

Integrovaný výraz jsem si rozložil následovně: $\frac{x^{3}+2x^{2}+x+1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$

Po vypočítání rovnice mi vyšlo, že $A=1$ a $B=0$ , což by při zpětném dosazení dělalo:
$\int_{}^{}\frac{x^{3}+2x^{2}+x+1}{x^{2}+x}dx=\int_{}^{}\frac{1}{x}-\int_{}^{}\frac{0}{x+1}=ln|x|+c$

Správný výsledek je však $\frac{x^2}{2}+x+\ln \left|x\right|-\ln \left|x+1\right|+C$

Kde jsem udělal chybu? Jaký je správný postup?

Když jsem pomocí parciálních zlomků počítal příklad $\int_{}^{}\frac{2x+7}{x^{2}+x-2}dx$ , rozložil jsem jej takto:
$\frac{2x+7}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$ a ke správnému výsledku se dopočítal.

Podobný způsob jsem bezúspěšně zvolil i u příkladu, u kterého žádám o radu.

MichalAld · 12. 04. 2020 12:37

No, podle mě je celkem jisté, že

$\frac{x^{3}+2x^{2}+x+1}{x(x+1)}$

se prostě nerovná 1/x

Ferdish · 12. 04. 2020 12:39

Rozklad na parciálne zlomky môžeme použiť len v prípade, že máme rýdzu racionálnu lomenú funkciu, teda podiel polynómov taký, že stupeň polynómu v čitateli je menší než stupeň polynómu v menovateli. Je toto náš prípad?

vanok · 12. 04. 2020 12:55 — Editoval vanok (12. 04. 2020 12:57)

Ahoj ↑ Ferdish:,
No tu sa najprv urobi delenim polynomov a sa potom upravi zvysok toho delenia. ( kolega ↑ MichalAld: ( zdravim) asi cakal, ze to explicitne povieme lebo to chyba v danom cviceni).

vanok · 12. 04. 2020 13:04 — Editoval vanok (12. 04. 2020 13:05)

Ahoj ↑ MichalAld:
To si chcel upozornit, ze ten vyraz sa pise $x+1+\frac 1x -\frac 1{x+1}$ . Ze?

X3R0Cz · 12. 04. 2020 13:14

↑ Ferdish:

Není.

Já jsem příklad včera spočítal pomocí kombinace dělení polynomu polynomem a parciálních zlomků:
$\int_{}^{}\frac{x^{3}+2x^{2}+x+1}{x^{2}+x}dx=\int_{}^{}xdx+\int_{}^{}dx+\int\frac{1}{x(x+1)}dx$

Na výraz $\frac{1}{x(x+1)}$ tedy rozklad na parciální zlomky šel použít, protože stupeň polynomu v čitateli menší než stupeň polynomu ve jmenovateli byl.

Nakonec mi tedy vyšlo: $\int_{}^{}xdx+\int_{}^{}dx+\int\frac{1}{x(x+1)}dx=\frac{x^{2}}{2}+x+ln|\frac{x}{x+1}|+c$

On byl problém asi v mojí neznalosti podmínek pro rozklad na parciální zlomky a také v zadání příkladu. Ze zadání mi přišlo, že lze na parciální zlomky rozkládat hned, ne, že je ještě potřeba provést úpravu dělení polynomu polynomem

MichalAld · 12. 04. 2020 13:32

↑ vanok:
No já jsem to tak do hloubky nedomýšlel....(dělení polynomů nikdy nebyla moje silná stránka, a rozklad na parciální zlomky vlastně taky né) ... ale že to nemůže být přesně 1/x mi přišlo tak nějak zřejmé ... a trochu mě překvapilo, že to někomu jinému zřejmé nepřišlo...

X3R0Cz · 12. 04. 2020 15:44

Tímto chci poděkovat za cenné rady, zejména ty od Ferdishe a vanoka.
Označuji téma jako vyřešené.

Matematické Fórum

#1 12. 04. 2020 12:33

Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků

#2 12. 04. 2020 12:37

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků

#3 12. 04. 2020 12:39

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků

#4 12. 04. 2020 12:55 — Editoval vanok (12. 04. 2020 12:57)

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků

#5 12. 04. 2020 13:04 — Editoval vanok (12. 04. 2020 13:05)

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků

#6 12. 04. 2020 13:11 Příspěvek uživatele X3R0Cz byl skryt uživatelem X3R0Cz. Důvod: Potřeba označení příspěvku, na který mojí odpovědí reaguji.

#7 12. 04. 2020 13:14

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků

#8 12. 04. 2020 13:32

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků

#9 12. 04. 2020 15:44

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků

Zápatí