Matematické Fórum

X3R0Cz · 12. 04. 2020 18:03

Ahoj, znovu prosím o radu.

Tentokrát se jedná o následující integrál, který mám opět vypočítat pomocí parciálních zlomků:
$\int_{}^{}\frac{x^{2}-1}{x^{3}-4x}dx$

Zlomek jsem rozložil takto: $\frac{x^{2}-1}{x(x+2)(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-2}$ , nicméně se nedostávám ke správnému výsledku.

Kde jsem udělal chybu?

MichalAld · 12. 04. 2020 18:45

Zatím nikde...

X3R0Cz · 13. 04. 2020 10:33

Takže pokračování:

$\frac{x^{2}-1}{x(x+2)(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-2}$
$x^{2}-1=A(x^{2}-4)+B(x^{2}-2x)+C(x^{2}+2x)$
$x^{2}-1=Ax^{2}-4A+Bx^{2}-2Bx+Cx^{2}+2Cx$
$x^{2}-1=(A+B+C)x^{2}+(-2B+2C)x+(-4A)$

Řešil bych tedy rovnice:
$A+B+C=1$
$-2B+2C=0$
$-4A=-1$

Pořád je postup správný?

vanok · 13. 04. 2020 10:37

Ahoj ↑ X3R0Cz:
To je jedna dobra metoda.
A pre zaujimavost, poznas aj ine metody? Ake?

X3R0Cz · 13. 04. 2020 10:47

↑ vanok:

Ahoj, určitě by to šlo rozložit na 2 integrály: $\int_{}^{}\frac{x^{2}-1}{x^{3}-4x}dx=\int_{}^{}\frac{x^{2}}{x^{3}-4x}dx-\frac{1}{x^{3}-4x}dx$ , které bych pak zvlášť řešil.

Věc se ale má tak, že mám příklad řešit pomocí rozložení na parciální zlomky a výsledek, ke kterému docházím, se nerovná tomu, který mám uvedený jako správný. Proto se snažím po krocích dojít na chybu.

surovec · 13. 04. 2020 10:53

↑ X3R0Cz:
Máš to zatím dobře.

X3R0Cz · 13. 04. 2020 13:13

Z rovnic si vyjádřím hodnoty čitatelů parciálních zlomků, vyšlo mi, že: $A=\frac{1}{4},B=\frac{3}{8},C=\frac{3}{8}$

Po dosazení hodnot čitatelů zpět do rovnice dostávám:
$\frac{1}{4}\int_{}^{}\frac{1}{x}dx +\frac{3}{8}\int_{}^{}\frac{1}{x+2}dx+\frac{3}{8}\int_{}^{}\frac{1}{x-2}dx$

Po spočítání prvního integrálu pomocí přímé integrace a dalších dvou pomocí substituce dostávám tento výsledek:
$\frac{1}{4}ln|x|+\frac{3}{8}ln|x+2|+\frac{3}{8}ln|x-2|+c$

Podle výsledků, které mám k dispozici, však má výraz vyjít:
$\frac{1}{8}lnx^{2}|(x^{2}-4)^{3}|+c$

Je někde v mém výpočtu chyba?

Jinak asi chápu, že k výsledku, který je podle mých skript správně, se nějak dostanu úpravami zlomků/exponentů logaritmu, teď mě spíš zajímá, jestli můj neupravený výraz je vypočítaný správně.

vlado_bb · 13. 04. 2020 13:29

↑ X3R0Cz: A v com vidis rozdiel medzi $\frac{1}{4}ln|x|+\frac{3}{8}ln|x+2|+\frac{3}{8}ln|x-2|+c$ a $\frac{1}{8}lnx^{2}|(x^{2}-4)^{3}|+c$ ?

jarrro · 13. 04. 2020 13:30

↑ X3R0Cz:áno je to dobre aj výsledok čo uvádzaš ako riešenie je dobre aj tvoj je dobre (resp. ten čo "má vyjsť" by mal byť $\frac{1}{8}\ln{$x^2\left|\(x^2-4$^3\right|\)}$ , ale to len asi šetrili zátvorkami.

vanok · 13. 04. 2020 14:09

Ahoj ↑ X3R0Cz:,
To bola iba poznamka tykajuca ako sa da aj inac dostat k rozkladu na parcialne zlomky. ( no ide skor o otazku tykajucu sa algebry).

X3R0Cz · 13. 04. 2020 14:35

↑ vlado_bb:

Chápu, jak jsme dostali z výrazu $\frac{1}{4}ln|x|$ výraz $\frac{1}{8}lnx^{2}$ , stejně tak chápu, jak se ze součtů logaritmů staly součiny, ale nemůžu přijít na to, jak se z:
$\frac{3}{8}ln|x+2|+\frac{3}{8}ln|x-2|$ stalo $ln|(x^{2}-4)^{3}|$

vlado_bb · 13. 04. 2020 14:37

↑ X3R0Cz: $(x+2)(x-2)=\dots$

Honzc · 13. 04. 2020 15:29 — Editoval Honzc (13. 04. 2020 15:30)

↑ X3R0Cz:
Ono se z výrazu $\frac{3}{8}ln|x+2|+\frac{3}{8}ln|x-2|$ nestal výraz $ln|(x^{2}-4)^{3}|$ ,
ale stal se z něj výraz $\frac{1}{8}(\ln |(x+2)^{3}|+\ln |(x-2)^{3}|)=\frac{1}{8}ln|(x^{2}-4)^{3}|$

X3R0Cz · 13. 04. 2020 19:31

↑ Honzc:

Tohle už mi dává smysl, díky moc :)

Jinak za rady díky všem, označuji téma jako vyřešené.

Matematické Fórum

#1 12. 04. 2020 18:03

Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

#2 12. 04. 2020 18:45

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

#3 13. 04. 2020 10:33

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

#4 13. 04. 2020 10:37

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

#5 13. 04. 2020 10:47

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

#6 13. 04. 2020 10:53

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

#7 13. 04. 2020 13:13

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

#8 13. 04. 2020 13:29

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

#9 13. 04. 2020 13:30

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

#10 13. 04. 2020 14:09

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

#11 13. 04. 2020 14:35

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

#12 13. 04. 2020 14:37

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

#13 13. 04. 2020 15:29 — Editoval Honzc (13. 04. 2020 15:30)

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

#14 13. 04. 2020 19:31

Re: Výpočet neurčitého integrálu pomocí parciálních zlomků - 3

Zápatí