Matematické Fórum

theterka14 · 15. 04. 2020 11:20

Ahoj, mám počítat integrál, ale bohužel si nejsem úplně jistá zadáním a tím pádem nevím, jak určit meze.

Zadání je: $\int_{\int_{}^{}}^{} y dx dy$ , $(x,y) = x^{2}+ y^{2}\le 3x \wedge y\ge 0$

Nevím jak určit $r$ , řekla bych že to bude $r = \langle0,\sqrt{3x}\rangle$ , ale nejsem si jistá, zda to tak může vypadat.

Děkuji za info.

Pomeranc · 15. 04. 2020 11:36

↑ theterka14:

Ahoj,

jak jsou definované polární souřadnice?

theterka14 · 15. 04. 2020 12:07

↑ Pomeranc: Teď nevím, co tím myslíte?

$x= r cos \varphi$ a $y = r \sin \varphi$

Cheop · 15. 04. 2020 12:27

↑ theterka14:
$x^2+y^2-3x\le 0\\(x-1,5)^2+y^2\le 2,25$

theterka14 · 15. 04. 2020 12:31

↑ Cheop: takže se jedná o posunuté souřadnice? Jak jste prosím přišel na ten druhý řádek?
Děkuji.

Cheop · 15. 04. 2020 12:37 — Editoval Cheop (15. 04. 2020 12:40)

↑ theterka14:
Doplněním na čtverec
A protože má být zároveň y>0 pak se jedná o polovinu kruhu se středem S=(1,5;0) a poloměrem 3/2

theterka14 · 15. 04. 2020 12:54

↑ Cheop: jej, furt to nemohu nějak pochopit a dát dohromady :(
Děkuji za pomoc.

surovec

↑ theterka14:
A nebylo by to jednodušší bez polárních souřadnic? Jde to snadno přímo bez transformace...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pomeranc · 15. 04. 2020 14:06

↑ theterka14:

Přesně tak. A teď toto dosaďte za x a y do podmínek množiny a zjistěte, jakých hodnot
může nabývat r a alpha.

theterka14 · 15. 04. 2020 16:48

↑ surovec: My to máme počítat pomocí polárních souřadnic :(

theterka14 · 15. 04. 2020 16:50

↑ Pomeranc: teď přesně vám asi nerozumím, myslíte takto? $(r\cos \varphi )^{2} + (r\sin \varphi )^{2}\le 3x$ ?

Pomeranc · 15. 04. 2020 18:16

↑ theterka14:

Nějak tak, ale chtělo by to dosadit i za to x na pravé straně + nezapomenout i na tu druhou podmínku $y\ge 0$

theterka14 · 16. 04. 2020 11:59

Už tomu rozumím, nastudovala jsem tu úpravu na čtverec, a vyšlo mi tedy $S [\frac{3}{2},0]$ a $r \langle0, \frac{3}{2}\rangle$ a $\varphi \langle0, \pi \rangle$ , ale po dosazení a výpočtu mi to stejně nevychází :(

Pomeranc · 16. 04. 2020 12:06

↑ theterka14:

Musíte vědět, co opravdu chcete. Pokud to chcete nějakým způsobem spočítat,
tak tím způsobem, jak psali kolegové to jde taky. Pokud to chcete spočítat pomocí polárních souřadnic,
tak bude potřeba postupovat podle mého návodu. Nicméně nemá cenu skákat od jednoho způsobu k druhému.

theterka14 · 16. 04. 2020 12:09

↑ Pomeranc: chci to spočítat pomocí polárních souřadnic a potřebuji zjistit $r$ a $\varphi$ , které jsem si pomocí obrázků zjistila a začala počítat integrál (dosazení za y $(r\sin \varphi ) r drd\varphi$ , ale po výpočtu mi výsledek vyšel chybně, tak nevím zda mám chybu v mezivýpočtu, nebo mám špatně určené $r$ a $\varphi$

Pomeranc · 16. 04. 2020 13:24

↑ theterka14:

Vnitřek integrálu je ok, máte dosazeno za y a je tam i jakobián :)

Jak Vám tedy vyšli ty meze?

theterka14 · 16. 04. 2020 14:21

↑ Pomeranc: no, mam to takto
$\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{\frac{3}{2}} (r\sin \varphi ) rdrd\varphi$

Děkuji :-)

surovec

↑ theterka14:
Já bych to viděl takto: $\int_0^\frac{\pi}{2} \int_0^{3\cos\varphi}r^2\sin\varphi \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi$

Pomeranc · 16. 04. 2020 16:09

↑ theterka14:

Ty meze nejsou ok (byly by ok, kdybychom ještě trochu ty polární souřadnice upravili).
Nejdříve to udělejme nejjednodušeji s tím, že použijeme
$x=r*cos\varphi$
$y=r*sin\varphi$

kde bez omezení máme $r\in (0,\infty )$ $\varphi \in [0,2\pi )$ .
Za x a y dosadíme do množiny, kterou nám zadali, a tím získáme omezení pro r a phí.

Tohle je základní způsob řešení. Podobným způsobem lze i řešit integrály, když budeš mít válcové/sférické souřadnice.

Tady pokuste se dopočítat, když to když za x a y dosadíte do množiny.

theterka14 · 16. 04. 2020 17:58

↑ Pomeranc: Myslíte tedy $(r\cos \varphi )^{2} + (rsin\varphi )^{2}\le 3\cos \varphi$ , tím pádem bych měla $r^{2}\le 3cos\varphi$ ? říkám to správně prosím?

Pomeranc

↑ theterka14:

Ano, myslím to tak, ale na pravé straně se vytratilo r, tedy $r^{2}\le 3r*cos\varphi$
a jelikož víme, že r musí být nezáporné a i bez 0, tak to můžeme doplnit na $0<r^{2}\le 3r*cos\varphi$

theterka14 · 16. 04. 2020 18:57

↑ Pomeranc: je to byla chyba, to jsem zapomněla dopsat. Aha, děkuji za vysvětlení, zkusím tedy s tímto počítat. :-)

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2020 11:20

polární souřadnice - integrál

#2 15. 04. 2020 11:36

Re: polární souřadnice - integrál

#3 15. 04. 2020 12:07

Re: polární souřadnice - integrál

#4 15. 04. 2020 12:27

Re: polární souřadnice - integrál

#5 15. 04. 2020 12:31

Re: polární souřadnice - integrál

#6 15. 04. 2020 12:37 — Editoval Cheop (15. 04. 2020 12:40)

Re: polární souřadnice - integrál

#7 15. 04. 2020 12:54

Re: polární souřadnice - integrál

#8 15. 04. 2020 13:16 — Editoval surovec (15. 04. 2020 13:20)

Re: polární souřadnice - integrál

#9 15. 04. 2020 14:06

Re: polární souřadnice - integrál

#10 15. 04. 2020 16:48

Re: polární souřadnice - integrál

#11 15. 04. 2020 16:50

Re: polární souřadnice - integrál

#12 15. 04. 2020 18:16

Re: polární souřadnice - integrál

#13 16. 04. 2020 11:59

Re: polární souřadnice - integrál

#14 16. 04. 2020 12:06

Re: polární souřadnice - integrál

#15 16. 04. 2020 12:09

Re: polární souřadnice - integrál

#16 16. 04. 2020 13:24

Re: polární souřadnice - integrál

#17 16. 04. 2020 14:21

Re: polární souřadnice - integrál

#18 16. 04. 2020 15:27 — Editoval surovec (16. 04. 2020 15:33)

Re: polární souřadnice - integrál

#19 16. 04. 2020 16:09

Re: polární souřadnice - integrál

#20 16. 04. 2020 17:58

Re: polární souřadnice - integrál

#21 16. 04. 2020 18:10 — Editoval Pomeranc (16. 04. 2020 18:12)

Re: polární souřadnice - integrál

#22 16. 04. 2020 18:57

Re: polární souřadnice - integrál

Zápatí