Matematické Fórum

theterka14 · 21. 04. 2020 18:39

Ahoj, dávala jsem sem již jeden příklad na diferenciální rovnice a ačkoliv jsme ve škole brali jiný postup, tak jeden odtud byl pro mě ještě více pochopitelnější.

Zadání: $y' + y = cos x$
dále, $y = Ce^{\lambda x}$ , z toho vyplívá, že $\lambda = -1$
obecné řešení tedy mám: $y = Ce^{-x}$

dále chci řešit pravou stranu, ale nevím pořádně jak na to.
mám rovnici: $y = B e^{kx}$
a chci dosadit, ale pořádně nevím jak na to, vím, že tam bude B (ale nevím kolik a jak to bude vypadat)
Případně děkuji za rady.

1jirka22

↑ theterka14:
Ahoj,

máš pouze homogenní řešení, obecné řešení se skládá z homogenního + partikulárního řešení.
Partikulární řešení získáš například metodou odhadu. Odhad pro tvůj případ: $y_{p}=A\cdot cos(x) +B\cdot sin(x)$

theterka14 · 21. 04. 2020 18:53

↑ 1jirka22: a to A a B značí prosím co? s tímto vzorečkem jsem se ještě nesetkala. Děkuji

1jirka22 · 21. 04. 2020 19:00

↑ theterka14:
A a B značí konstatny :) je to vlastně polynom nultého stupně.

1jirka22 · 21. 04. 2020 19:04

↑ theterka14:
Dosaď ten odhad do té diferenciální rovnice.
Takže: $-A\cdot sin(x)+B\cdot cos(x)+A\cdot cos(x)+B\cdot sin(x) = cos(x)$

theterka14 · 21. 04. 2020 19:24

↑ 1jirka22: promiňte, asi jsem uplně natvrdlá, ale vůbec nevím, jak jste na tu dlouhou rovnici přišel, pravou stranu chápu, ale levou vůbec :(

surovec

↑ theterka14:
Zase bych použil integrační faktor:
B = 1, takže rovnici vynásobím $\mathrm{e}^{\int 1\, \mathrm{d}x}$ a mám
$\mathrm{e}^xy'+\mathrm{e}^xy=\mathrm{e}^x\cos x$
$\left(\mathrm{e}^xy\right)'=\mathrm{e}^x\cos x$
$y=\frac{\int \mathrm{e}^x\cos x\, \mathrm{d}x+C}{\mathrm{e}^x}=\frac{\frac{1}{2}\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x)+C}{\mathrm{e}^x}=$
$=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)+\frac{C}{\mathrm{e}^x}$
Hotovo dvacet.

1jirka22 · 21. 04. 2020 19:26

↑ theterka14:
odhad jsem dosadil do té diferenciální rovnice, takže $-A\cdot sin(x)+B\cdot cos(x)$ je zderivovaný odhad.

laszky · 21. 04. 2020 19:34

↑ surovec:

Ahoj. Tento postup vyzaduje vypocet integralu pomoci metody per partes. Postup ↑ 1jirka22: je mnohem lehci.

surovec · 21. 04. 2020 19:39

↑ laszky:
Záleží na tom, jak kdo rychle integruje (já si takové notoricky známé integrály pamatuju jako tabulkové). A hlavně princip je strašně jednoduchý, stačí znát vlastně jen ten první krok a už to jede samo, nemusím znát nic dalšího...
Je to samozřejmě věc názoru.

theterka14 · 21. 04. 2020 19:41

↑ 1jirka22: Aha, takže jestli správně chápu, tak do úplně první rovnice, dosadím za $y'$ derivované a za $y$ normální a pravou stranu opíši že? Ale vůbec nevím, jak s tím dál pracovat, jak si vyjádřit

jedině vytknout $A(-sin x + cos x) + B(cos x + sin x) = cos x$

theterka14

↑ surovec: u tohoto nechápu ten předposlední krok, vím že se jedná o integrace, ale moc nechápu, jak jste k tomu dospěl.

1jirka22 · 21. 04. 2020 19:43

↑ theterka14:
Vytknutí je správný postup, ale tenhle zrovna ne :) vytkni $sin(x) ; cos(x)$

theterka14

↑ 1jirka22: $sin x (-A+ B) + cos x(A+ B) = cos x?$

Snad je alespoň toto dobře.

1jirka22 · 21. 04. 2020 19:51

↑ theterka14:
Přesně tak :) jen ti ulítlo x u cos :) Ale to ses jen uklepla asi :)

theterka14 · 21. 04. 2020 19:54

↑ 1jirka22:opraveno, máte pravdu :) jen mě teď nic moc nenapadá, co s tím dále :/

1jirka22 · 21. 04. 2020 19:57

↑ theterka14:
Získáš soustavu dvou rovnic o dvou neznámých $-A+B=0$ a $A+B=1$

theterka14 · 21. 04. 2020 20:08

tudíž tedy mi vyšlo $A = \frac{1}{2} B = \frac{1}{2}$ ?

1jirka22 · 21. 04. 2020 20:14

↑ theterka14:
Přesně tak :)

theterka14 · 21. 04. 2020 20:16

tudíž pokud bych to dosadila tak by mělo být : $y = Ce^{-x} + \frac{1}{2} (cos x + sin x)$ ?

1jirka22 · 21. 04. 2020 20:32

↑ theterka14:
Ano :)

theterka14 · 21. 04. 2020 20:45

↑ 1jirka22: Moc děkuji za podrobné vysvětlení a pochopení! :)

1jirka22 · 21. 04. 2020 20:50

↑ theterka14:
Rádo se stalo :)

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2020 18:39

diferenciální rovnice

#2 21. 04. 2020 18:50 — Editoval 1jirka22 (21. 04. 2020 19:05)

Re: diferenciální rovnice

#3 21. 04. 2020 18:53

Re: diferenciální rovnice

#4 21. 04. 2020 19:00

Re: diferenciální rovnice

#5 21. 04. 2020 19:04

Re: diferenciální rovnice

#6 21. 04. 2020 19:24

Re: diferenciální rovnice

#7 21. 04. 2020 19:25 — Editoval surovec (21. 04. 2020 19:35)

Re: diferenciální rovnice

#8 21. 04. 2020 19:26

Re: diferenciální rovnice

#9 21. 04. 2020 19:34

Re: diferenciální rovnice

#10 21. 04. 2020 19:39

Re: diferenciální rovnice

#11 21. 04. 2020 19:41

Re: diferenciální rovnice

#12 21. 04. 2020 19:42 — Editoval theterka14 (21. 04. 2020 19:44)

Re: diferenciální rovnice

#13 21. 04. 2020 19:43

Re: diferenciální rovnice

#14 21. 04. 2020 19:48 — Editoval theterka14 (21. 04. 2020 19:53)

Re: diferenciální rovnice

#15 21. 04. 2020 19:51

Re: diferenciální rovnice

#16 21. 04. 2020 19:54

Re: diferenciální rovnice

#17 21. 04. 2020 19:57

Re: diferenciální rovnice

#18 21. 04. 2020 20:08

Re: diferenciální rovnice

#19 21. 04. 2020 20:14

Re: diferenciální rovnice

#20 21. 04. 2020 20:16

Re: diferenciální rovnice

#21 21. 04. 2020 20:32

Re: diferenciální rovnice

#22 21. 04. 2020 20:45

Re: diferenciální rovnice

#23 21. 04. 2020 20:50

Re: diferenciální rovnice

Zápatí