Matematické Fórum

nononsense · 26. 04. 2020 17:05

ahoj, mám další problém. Mám zjistit rovnici kružnice opsané trojúhelníku ABC, kde
$A=[-3,-4], B=[-2,-1], C=[1, -2]$

Nevím moc, jak začít. Mám první zjistit $\vec{AB}$ ? A z toho pak sestavit rovnici a pokračovat dál?

Ferdish

Ak tie 3 body patria danej kružnici, to znamená že ich súradnice sú riešením rovnice, ktorá túto danú kružnicu definuje. Je len na tebe, či si zvolíš všeobecný alebo stredový tvar rovnice.

Každopádne do vybraného tvaru dosadíš za súradnice tých bodov a dostaneš tak sústavu troch rovníc o troch neznámych: súradnice stredu a polomer. Zvyšok sú počty.

nejsem_tonda

↑ nononsense:
Myslim si, ze se dost vyplati mit nejaky plan. Pri planovani neresim vubec vypocty, jenom planuju, jak na sebe budou kroky navazovat.

Priklad planu:

Vim, ze stred kruznice opsane je prusecik os usecek AB, BC, CA (staci dve z nich). Takze
* spocitam rovnici osy usecky AB
* spocitam rovnici osy usecky BC
* spocitam jejich prusecik
* spocitam vzdalenost pruseciku od bodu A (protoze to je polomer hledane kruznice)
* napisu rovnici kruznice (znam jeji stred i polomer)
(V pripade, ze je nejaky krok prilis slozity, rozdelim ho na nekolik mensich kroku, tedy vytvorim "podplan".)

Jiny priklad planu:

Vim, ze rovnice libovolne kruznice vypada takto: , pricemz m, n, r jsou cisla, ktera zatim neznam. Takze
* mam tri nezname, potreboval bych tri rovnice
* kazdy z bodu A, B, C na kruznici lezi, takze kdyz tam dosadim napr. souradnice bodu A, dostanu rovnici pro neznama cisla m, n, r.
* podobne dosadim souradnice bodu B, C a dostanu dalsi dve rovnice pro neznama cisla m, n, r
* vyresim soustavu tri rovnic o trech neznamych m, n, r a tim budu vedet rovnici kruznice opsane

Vyber si jeden z planu a udelej co nejvice kroku z nej zvladnes.

Drzim palce.

nononsense · 26. 04. 2020 17:27

Díky oběma. Postupoval jsem podle prvního plánu, ale asi mám někde chybu. Jestli mi to několikrát nevyjde, hodím sem můj postup. :)

nononsense

↑ nejsem_tonda:
$A=[-3,-4], B=[-2,-1], C=[1, -2]$

Tak postupoval jsem takto:

$\vec{AB}=(1,3)$

$x=-3+t\\ y=-4+3t$

$-3x=9-3t\\ y=-4+3t$

$-3x+y-5=0$

$\vec{BC}=(3,-1)$
$x=-2+3t\\ y=-1-t$

$x=-2+3t\\ 3y=-3-3t$
$x+3y+5=0$

Pak jsem tedy udělal soustavu rovnic

$-3x+y-5=0\\ x+3y+5=0$

a ta mi vyšla takto: $y=-1, x=-2, P=[-2,-1]$

Teď jsem udělal vzdálenost: $AP=\sqrt{(-2+3)^{2}+(-1+4)^{2}}=\sqrt{10}$

ale nevím, jestli to mám dobře, nebo jsem náhodou něco nepokazil :x

nejsem_tonda · 26. 04. 2020 18:16

↑ nononsense:
Prestoze spoustu kroku je dobre, celkove to bohuzel nedava smysl.

Hodne vyrazne doporucuju zamerit na vyznam kazdeho vypoctu. U nekterych mezikroku je vyznam mozna zrejmy, ale aspon u tech "hlavnich" mezikroku fakt doporucuju si napsat / nakreslit, co jsi spocital.

Konkretne

$\vec{AB}=(1,3)$

$x=-3+t\\ y=-4+3t$

primka prochazejici bodem A ve smeru vektoru AB (tedy primka AB zapsana parametricky)

$-3x=9-3t\\ y=-4+3t$

$-3x+y-5=0$

porad primka AB, jenom zapsana v obecnem tvaru

$\vec{BC}=(3,-1)$
$x=-2+3t\\ y=-1-t$

primka BC zapsana parametricky

$x=-2+3t\\ 3y=-3-3t$
$x+3y+5=0$

porad primka BC, tentokrat zapsana v obecnem tvaru

Pak jsem tedy udělal soustavu rovnic

$-3x+y-5=0\\ x+3y+5=0$

Kdyz tem vypoctum budes prirazovat vyznamy, tak ti dojde, ze tady se pocita neco, co vubec pocitat nechceme - prusecik primek AB a BC. Neni velke prekvapeni, ze ti vyjde bod B[-2, -1].

nononsense

↑ nejsem_tonda:
$-3x+y-5=0$

$S_{AB}=[-\frac{5}{2},-\frac{5}{2}]\\ -x-3y+c=0\\ c=-10$
$-x-3y-10=0$
To samé jsem udělal pro Sbc a z toho udělal soustavu dvou rovnic

nejsem_tonda · 26. 04. 2020 19:00

↑ nononsense:
Jo, pak uz to budes mit cele dobre. Mimochodem jaky ma ta rovnice $-x-3y-10=0$ vyznam? (Co jsi tim spocital?) -- Staci, kdyz si na to sam odpovis, nemusis to nutne psat verejne.

Co byl ten klicovy dilek puzzle, kvuli kteremu jsi nevedel, jak zacit / nedopocital ses vysledku?

nononsense

↑ nejsem_tonda:

Spočítal jsem díky tomu to "c", když jsem do ní dosadil. Ale proč se to takhle otočilo - to nevím, ale rád bych na to znal odpověď.

Hlavně mi to ještě nevyšlo. :D -> ještě jsem nedošel k výsledku. Poloměr mi vyšel 5, ale nevím jaké body dosadit za x a za y.

vím, že by to mělo být ve tvaru
$x^{2}+y^{2}+x+y+5=0$

ale co mám dosadit za x a y, netuším.

vlado_bb

↑ nononsense:V takom pripade je vhodne zistit a pochopit, co je rovnica kruznice (alebo vo vseobecnosti rovinnej krivky).

Alebo priamky. Napriklad - aka je rovnica priamky prechadzajucej bodmi $[1,1],[2,2]$ ?

nejsem_tonda · 26. 04. 2020 20:01

Hlavně mi to ještě nevyšlo. :D -> ještě jsem nedošel k výsledku. Poloměr mi vyšel 5, ale nevím jaké body dosadit za x a za y.

Tech 5 vyjde druha mocnina polomeru, takze polomer je $\sqrt{5}$ .

Ted uz znas stred kurznice: $[-1;-3]$ a polomer. Umis z toho sestavit rovnici kruznice?

Ono totiz pokud ne, je vlastne dost zbytecne resit tolikakrokovou ulohu, ve ktere se predpoklada, ze v tech jednotlivych krocich uz mas celkem jasno.

Ale proč se to takhle otočilo - to nevím, ale rád bych na to znal odpověď.

Kdyz na to zalozis zvlast tema "jak se odvodi rovnice primky kolme k zadane primce", tak ti tam odpovim (nebo nekdo jiny). Nema cenu tady resit tolik veci v jednom.

nononsense · 26. 04. 2020 20:06

↑ vlado_bb:

x-y=0

↑ nejsem_tonda:

Aha, tak se asi podívám na google, protože ze středu a poloměru rovnici sestavit neumím. A bohužel v té knížce, kde beru příklady na to žádné cvičení není, ani o tom není zmínka.

Dobře, díky, založím na to další téma, děkuji.

vlado_bb

↑ nononsense:Spravne, $x-y=0$ , alebo tiez $x=y$ . Ak by som sa teraz opytal, co mam dosadit za $x$ a za $y$ , davala by ti taka otazka zmysel? Lebo ty sa pytas na to iste pri kruznici.

nononsense

↑ vlado_bb:
Už jsem na to přišel! S tou kružnicí jsem to tedy pochopil a vyšlo mi to. Dosadil jsem P do vzorečku, ten jsem spočítal a došel jsem ke správnému výsledku, děkuji moc!

nejsem_tonda

↑ nononsense:
Internet je takovy prales plny bordelu (nekvalitnich zdroju) a mezi nimi obcas narazis na velmi kvalitni zdroje. Dva takove mam ve svem podpisu.

Napriklad tady je lekce o kruznicich. Tebe ted zajima hlavne priklad cislo 2.

nononsense · 26. 04. 2020 20:23

↑ nejsem_tonda:

Právě jsem narazil na jednu stránku, kde to bylo popsané, ale vskutku, všechno byl bordel a správné řešení jsem nenalezl.

Díky, podívám se na tvůj odkaz :)

nejsem_tonda

↑ nononsense:
Samozrejme nikdy neni zaruka, ze to z toho zdroje pochopis. Strasne moc zalezi na tom, jestli mas vsechny "vstupni znalosti" a pak taky na tom, jestli je ten zpusob vysvetleni kompatibilni s tim, jak uvazuje tvuj mozek.

Ten odkaz je z ucebnice realisticky.cz, kterou doporucuju jako prvniho konzultanta prakticky na vsechno. Kdyz mas v necem mezeru, muzes se v ucebnici vratit o par kapitol zpet (kapitoly maji dokonce napsano, ktere jine kapitoly uz bys mel znat, kdyz zacinas cist).

misaH · 26. 04. 2020 20:34 — Editoval misaH (26. 04. 2020 20:36)

Ahojte -

myslím, že riešenie matematických úloh je trochu aj o skúsenostiach...

Na niektoré veci je táto stránka celkom dobrá, myslím si, analogická úloha so zadaním je pod číslom 8:

https://www.priklady.eu/sk/riesene-prik … secky.alej

nononsense · 26. 04. 2020 20:36

↑ nejsem_tonda:

Z tohoto tématu mám bohužel jen základy. O té kružnici jsem slyšel poprvé, v matematice jsme dost pozadu, až mě to mrzí. Teď jak se připravuji, tak jsem zjistil, že mě matika docela i baví.

Díky moc všem, odkazy si ukládám, teď se je pokusím využít při řešení ostatních úloh :)

misaH · 26. 04. 2020 20:37

↑ nononsense:

:-)

nejsem_tonda · 26. 04. 2020 21:13

↑ misaH:

Nejsem priznivcem toho tveho zdroje. Dulezitejsi je porozumet tomu, co pocitam. Pocitani do zblbnuti, dosazovani do vzorecku, kdyz jim nebudu rozumet, me ve skutecnosti moc neposune.

Ano, nejake dilci posuny prijit muzou. Muzu ziskat vetsi sebevedomi, ze to dokazu spocitat, a muzu se ve vypoctech zrychlit. Neberu ti, pokud se ti ten zdroj libi. Jenom si proste myslim, ze je to zdroj, ktery podporuje studenty v mysleni typu "ano, jste cvicene opice, po kterych se chce, aby resily nesmyslne ulohy - neni dulezite vecem rozumet, hlavne abyste to umeli spocitat".

Chapu, ze autor(ka) toho webu to urcite myslel(a) dobre. Nicmene ja takovym vecem nefandim, protoze v tom nevidim vic nez jen nacvicovani skolnich uloh.

vanok · 26. 04. 2020 21:53

Ahoj ↑ nononsense:,
Nezda sa ti, ze ABC je pravouhly? A to sa tu da velmi vyuzit.

misaH · 27. 04. 2020 02:21 — Editoval misaH (27. 04. 2020 02:24)

↑ nejsem_tonda:

Ahoj.

No - každý má právo na svoj názor.

Učím matematiku, pôvodne na strednej škole, potom na základnej.

Táto úloha je úplne jednoduchá, tak ako radí ferdish a neskôr aj vlado_bb, ktorí smerovali zadávateľa k tomu, že ak bod leží na útvare, musia jeho súradnice spĺňať rovnicu útvaru.

(Samozrejme, opísaná kružnica útvaru môže mať aj iné vlastnosti a to sa môže tiež pri riešení využiť. A ak si niekto vie všimnúť, že dané body sú vrcholy pravouhlého trojuholníka ako píše vanok, tak riešenie je ešte jednoduchšie. (Žiadne cvičené opice v tom nevidím.))

Metodicky je to tak, ako píše Vlado - najprv jednoduchšie útvary, potom zložitejšie, ale podstata je rovnaká.

Samozrejme, že treba hlavne chápať podstatu, ale tie riešené úlohy môžu ukázať akýsi prístup k špeciálnej úlohe - trebárs zrovna v tejto úlohe je naozaj jedno, ako sa postupuje (pokiaľ ide o pochopenie a logiku), ale tá všeobecná rovnica poskytuje technicky podstatne jednoduchšie, elegantnejšie riešenie ako stredová, preto som tú stránku ponúkla.

A čo komu a do akej miery vyhovuje si musí rozhodnúť on sám.

Pamätám sa - bola jediná téma, ktorú som z výkladu učiteľky na SŠ nepochopila - integrály. Internet vtedy nebol - tak som si kúpila knihu riešených úloh (doteraz ju mám) a dovtedy som sa tými riešenými úlohami prehrýzala, kým som tému nepochopila. (Vlado - vidíš, tak aj ja som sa raz v živote naučila niečo z knihy, hehe - úplne som na to zabudla...)

Keď som sa ako dieťa rozhodovala, čo pôjdem učiť, hovorila som si - čokoľvek, len nie matiku. Prečo? Veľká neistota - vyriešiš sto úloh, máš predstavu, rozumieš - a príde stoprvá úloha, a bum. Nevyriešiš, nedocvakáva... Vtedy môže riešená úloha popostrčiť, prísť vhod.

Ja tu na fóre takmer nikdy nepredkladám hotové riešenia, aj keď v tomto období nie som až taká striktná, podľa mňa vysvetľovanie žiakom samozrejme chýba. Drobná náhrada môže byť učebnica realisticky (alebo iná učebnica), ale ani tá nemusí vyhovovať všetkým, nie každému matematika chutí.

Zadávatelia by mali povinne uvádzať, čo z danej problematiky ovládajú, ináč sa zmysluplne radiť nedá.

nejsem_tonda · 27. 04. 2020 10:07

↑ misaH:
Ahoj Misa,

(Samozrejme, opísaná kružnica útvaru môže mať aj iné vlastnosti a to sa môže tiež pri riešení využiť. A ak si niekto vie všimnúť, že dané body sú vrcholy pravouhlého trojuholníka ako píše vanok, tak riešenie je ešte jednoduchšie. (Žiadne cvičené opice v tom nevidím.))

Moje veta o cvicenych opicich se vztahovala k tomu zdroji, ne k teto uloze.

tá všeobecná rovnica poskytuje technicky podstatne jednoduchšie, elegantnejšie riešenie ako stredová, preto som tú stránku ponúkla

Jo s tim souhlasim, ze v teto uloze je technicky jednodussi vychazet z obecne rovnice nez ze stredove rovnice. To jsem si pri psani navrhu planu neuvedomil. Takze chapu, proc jsi ten zdroj poslala.
Nononsense si stejne nakonec vybral "svoji" cestu, takze to pro jeho reseni nehralo roli. (Technicky nejsnazsi je to, o cem pise vanok.)

Pamätám sa - bola jediná téma, ktorú som z výkladu učiteľky na SŠ nepochopila - integrály. Internet vtedy nebol - tak som si kúpila knihu riešených úloh (doteraz ju mám) a dovtedy som sa tými riešenými úlohami prehrýzala, kým som tému nepochopila. (Vlado - vidíš, tak aj ja som sa raz v živote naučila niečo z knihy, hehe - úplne som na to zabudla...)

Tak ja si dovedu predstavit velmi dobre napsanou sbirku uloh. Komentare, ktere pujdou po klicovych myslenkach, primo "na dren", nebo promyslena gradace uloh muze cloveka opravdu hodne posunout.

..., ale ani tá nemusí vyhovovať všetkým, nie každému matematika chutí.

Uplne souhlasim. Vyznamove stejny komentar jsem psal o par prispevku vyse.

Sice mam trochu jiny pohled na tvrzeni "nie kazdemu matematika chuti", ale nema asi cenu rozebirat do detailu kazdou vetu. Navic to bychom se dostali spis do filozoficke roviny a to me pres internet rozebirat nebavi.

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2020 17:05

Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#2 26. 04. 2020 17:19 — Editoval Ferdish (26. 04. 2020 17:20)

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#3 26. 04. 2020 17:24 — Editoval nejsem_tonda (26. 04. 2020 17:25)

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#4 26. 04. 2020 17:27

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#5 26. 04. 2020 17:56 — Editoval nononsense (26. 04. 2020 18:04)

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#6 26. 04. 2020 18:16

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#7 26. 04. 2020 18:44 — Editoval nononsense (26. 04. 2020 18:45)

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#8 26. 04. 2020 18:56 Příspěvek uživatele nejsem_tonda byl skryt uživatelem nejsem_tonda. Důvod: omylem vlozeno dvakrat

#9 26. 04. 2020 19:00

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#10 26. 04. 2020 19:40 — Editoval nononsense (26. 04. 2020 19:43)

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#11 26. 04. 2020 19:48 — Editoval vlado_bb (26. 04. 2020 19:50)

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#12 26. 04. 2020 20:01

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#13 26. 04. 2020 20:06

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#14 26. 04. 2020 20:11 — Editoval vlado_bb (26. 04. 2020 20:11)

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#15 26. 04. 2020 20:13 — Editoval nononsense (26. 04. 2020 20:14)

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#16 26. 04. 2020 20:22 — Editoval nejsem_tonda (26. 04. 2020 20:24)

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#17 26. 04. 2020 20:23

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#18 26. 04. 2020 20:28 — Editoval nejsem_tonda (26. 04. 2020 20:31)

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#19 26. 04. 2020 20:34 — Editoval misaH (26. 04. 2020 20:36)

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#20 26. 04. 2020 20:36

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#21 26. 04. 2020 20:37

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#22 26. 04. 2020 21:13

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#23 26. 04. 2020 21:53

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#24 27. 04. 2020 02:21 — Editoval misaH (27. 04. 2020 02:24)

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

#25 27. 04. 2020 10:07

Re: Analytická geometrie - rovnice kružnice opsané

Zápatí