Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 05. 2020 16:38 — Editoval Mitsuko (09. 05. 2020 16:40)

Mitsuko
Zelenáč
Příspěvky: 14
Reputace:   
 

Komplexní čísla - mocnina

Ahoj. Můžu poprosit o radu?

Je zadané komplexní číslo $z= (-1+\sqrt{3} i)$
Mám vypočítat $z^3$, což mi vyšlo  $8$.

Otázka zní: Nalezněte další dvě komplexní čísla, která mají stejnou třetí mocninu.

Našel jsem $z= (-1-\sqrt{3} i)$ spíš tak úvahou. Jaké bude druhé komplexní číslo?

Offline

 

#2 09. 05. 2020 16:49

jarrro
Příspěvky: 5402
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Komplexní čísla - mocnina

Všetky n té odmocniny komplexného čísla ležia vo vrcholoch pravidelného n uholníka


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 09. 05. 2020 17:08

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Komplexní čísla - mocnina

Dalsia pomoc.
Realne cislo a, je komlexne cislo formy a+0i .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 09. 05. 2020 17:16

Mitsuko
Zelenáč
Příspěvky: 14
Reputace:   
 

Re: Komplexní čísla - mocnina

Takže správná odpověď je $z = 2 $? Komplexní číslo bez imaginární části.

Offline

 

#5 09. 05. 2020 17:34

jarrro
Příspěvky: 5402
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Komplexní čísla - mocnina


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#6 09. 05. 2020 18:34

Mitsuko
Zelenáč
Příspěvky: 14
Reputace:   
 

Re: Komplexní čísla - mocnina

↑ jarrro:
Díky!

Offline

 

#7 09. 05. 2020 23:10

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4173
Reputace:   111 
 

Re: Komplexní čísla - mocnina

Podle mě je nejjednodušší si číslo převést na exponenciální tvar, tedy na tvar typu

$z = Z e^{i \varphi}$

a k tomu si uvědomit, že když fázi zvýšíme o 2 PI, dostaneme pořád to samé číslo.

Když ho tedy budeme chtít umocnit na třetí, tak

$z^3 = Z^3 e^{i 3\varphi}$

tedy velikost umocníme na třetí a fázi vynásobíme třema.

A pokud teď chceme najít ta další dvě čísla, která po umocnění na třetí dají to samé, tak hledáme takovou fázi, aby nám po vynásobení 3 dala $3 \varphi + 2 \pi$ nebo $3 \varphi + 4 \pi$,

takže zjevně původní číslo musí mít fázi $\varphi + \frac{2}{3} \pi$ nebo $\varphi + \frac{4}{3} \pi$. Víc už jich není, protože další by bylo $\varphi + \frac{6}{3} \pi$ což je $\varphi + 2 \pi$ a to už je to samé číslo jako to se kterým jsme začli. Pokud bychom měli vyšší mocninu, bude jich více.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson