Matematické Fórum

vanok · 24. 05. 2020 15:56

Nech k je prirodzene cislo k>1. Dokazte, sucin n(n+1)(n+2), kde n je nenulove prirodzene cislo nie je mocnina na k

vanok · 25. 05. 2020 12:35

Ako zacat?
Mozte najprv dokazat, ze dve nasledujuce prirodzene nenulove cisla nemozu nikdy byt naraz k° mcniny (k>1).

vanok · 26. 05. 2020 11:35 — Editoval vanok (26. 05. 2020 12:20)

Odpoved na #2.

Ak by to tak bolo ( cf #2), tak by boli formy $a^k; (a+1)^k$ kde $a$ je prirodzene nenulove. No vsak lahko ukazte, ze $(a+1)^k-a^k>ka >1$ ..
( co je spor).
Teraz mozte pokracovat, tak ze to vyuzijete a pouzite parnost / neparnost $n$

vanok · 28. 05. 2020 00:06 — Editoval vanok (28. 05. 2020 07:16)

Teraz urobme dalsi krok k rieseniu problemu.

Predpokladajme, ze n, n+1, n+2 su po dvoch nesudelitelne.
Potom ak $n(n+1)(n+2)$ je k° mocnina, tak

kazde z $n, n+1, n+2$ je tiez k° mocnina.

.....
Vseobecne $n,n+1$ su vzdy nesudelitelne ako aj $n+1,n+2$ .
Ale $n, n+2$ su nesudelitelne len a len ak $n+1$ je parne .

vanok · 29. 05. 2020 13:54 — Editoval vanok (29. 05. 2020 19:53)

Ostava vysetrit este pripad ked $n +1$ je neparne, vtedy najvädci spalocny delitel cisiel $n, n+2$ je $2$ .
A tak ak $n(n+1)(n+2)$ je $k°$ mocnina

to implikuje, ze

existuju $p,q,r$ prirodzene nenulove take,ze
$n+1=q^k; n=2p^k;n+2=2^{k-1}r^k$ alebo
$n+1=q^k; n=2^{k-1}p^k;n+2=2r^k$ .

No vsak poznamenajme, ze potom $(n+1)^2$ a $n(n+2)$ su $k°$ mocniny, co ale je spor (cf. #2) lebo $(n+1)^2-n(n+2)=1$ .

A teraz mozte vidiet, vsetko co sme pred tym napisali dokazuje #1.