Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 05. 2020 15:56

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Mocniny


Nech k je prirodzene cislo k>1. Dokazte, sucin n(n+1)(n+2), kde n je nenulove prirodzene cislo nie je mocnina na k


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 25. 05. 2020 12:35

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Mocniny

Ako zacat?
Mozte najprv dokazat, ze dve nasledujuce prirodzene nenulove cisla nemozu nikdy byt naraz k°  mcniny (k>1).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 26. 05. 2020 11:35 — Editoval vanok (26. 05. 2020 12:20)

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Mocniny

Odpoved na #2.

Ak by to tak bolo ( cf #2), tak by boli formy $a^k; (a+1)^k$ kde $a$ je prirodzene nenulove.  No vsak lahko ukazte, ze $(a+1)^k-a^k>ka >1$..
( co je spor).
Teraz mozte pokracovat, tak ze to vyuzijete a pouzite parnost / neparnost $n$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 28. 05. 2020 00:06 — Editoval vanok (28. 05. 2020 07:16)

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Mocniny

Teraz urobme dalsi krok k rieseniu problemu.

Predpokladajme, ze n, n+1, n+2 su po dvoch nesudelitelne.
Potom ak $n(n+1)(n+2)$ je k° mocnina, tak

kazde z $n, n+1, n+2 $ je tiez  k° mocnina. 

.....
Vseobecne  $n,n+1$ su  vzdy nesudelitelne ako aj $n+1,n+2$ .
Ale $n, n+2$ su nesudelitelne len a len ak $n+1$ je parne .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 29. 05. 2020 13:54 — Editoval vanok (29. 05. 2020 19:53)

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Mocniny

Ostava vysetrit este pripad ked $n +1$ je neparne, vtedy najvädci spalocny delitel cisiel $n, n+2$ je $2$.
A tak ak $n(n+1)(n+2)$ je $k°$ mocnina

to implikuje, ze

existuju $p,q,r$ prirodzene nenulove take,ze
$n+1=q^k; n=2p^k;n+2=2^{k-1}r^k$ alebo
$n+1=q^k; n=2^{k-1}p^k;n+2=2r^k$.

No vsak poznamenajme, ze potom $(n+1)^2$ a $n(n+2)$ su $k° $ mocniny, co ale je spor (cf. #2) lebo $(n+1)^2-n(n+2)=1$.


A teraz mozte vidiet, vsetko co sme pred tym  napisali dokazuje #1.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson