Matematické Fórum

striga · 03. 06. 2020 12:27

Dobrý den,
maturuji tento rok z matematiky a nevím si rady s příkladem $x^2-20=ix(2i-x)$ . Tento příklad je z Petákové str. 139 a výsledky mají být $3-i$ a $-4+2i$ . Po úpravě jsem dostal tvar $x^2(1+i)+2x-20=0$ a diskriminant mi vyšel $D=84+80i$ , ovšem tato metoda mi poté nevycházela, tak jsem upravil $x^2(1+i)+2x-20=0$ do tvaru $(a+bi)^2(1+i)+2(a+bi)-20=0$ a poté jsem porovnal reálné a imaginární složky komplexního čísla $a^2-b^2-20=-2a+2ab$ a $2ab=-a^2+b^2-2b$ . Dostal jsem se až do tvaru $2a^4+4a^3-17a^2-19a-60=0$ .
Nenapadá někoho nějaká jednodušší a rychlejší postup jak by šlo tento příklad vyřešit?

Předem děkuji.

zdenek1 · 03. 06. 2020 13:24

↑ striga:
Diskriminant je dobře, a vychází
$84+80i=4(21+2\cdot5\cdot2i)=4(5^2+2\cdot5\cdot2i+(2i)^2)=[2(5+2i)]^2$

Rumburak

↑ striga:

Ähoj.

Zkusil bych upravit rovnici $x^2-20=ix(2i-x)$ do standardního tvaru

(1) $Ax^2 + Bx + C = 0$ ,

kde $A, B, C$ ovšem budou komplexní čísta, $A \ne 0$ .
Vydělením rovnice (1) číslem $A$ dostaneme ekvivalentní rovnici

(2) $x^2 + Px + Q = 0$ .

Tu pak upravíme metodou "doplnění na čverec", t.j. na tvar

(3) $(x + U)^2 = V^2$ .

Odtud $x + U = V$ nebo $x + U = -V$ .

D8le snad jasné.

laszky · 03. 06. 2020 17:01

↑ Rumburak:
Ahoj, i tvuj postup vyzaduje vypocet odmocniny z komplexniho cisla. ktere znacis $V^2$ a je hodne podobny, jako kdyz resi ↑ striga: rovnici standardnim zpusobem a pocital by odmocninu z diskriminantu.

↑ striga: odmocninu z komplexniho cisla vypocitas prevodem na goniometricky tvar a pouzitim Moivreovy vety:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

striga · 03. 06. 2020 18:15

↑ laszky:

Mockrát děkuji, měl jsem chybu v úpravě polovičního úhlu ve vzorci.

Rumburak · 04. 06. 2020 11:45

↑ striga:

Operaci "odmocňování" komplexního čísla se samozřejmě nevyhneme, toho jsem si vědom.

vanok · 04. 06. 2020 17:22

Poznamka.
Tu https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=90346 v #9 som pripomenul jednu metodu ako a da pocitat druha od mocnina komplexneho cisla.

MichalAld · 04. 06. 2020 23:38

Třeba pro nás, kdož jsme zvyklí vidět komplexní čísla jako $\overline{X} = X e^{i \varphi}$ je odmocňování celkem formalita (odmocnit velikost a podělit úhel). Zase se nám to ale blbě sčítá/odčítá.

vanok · 05. 06. 2020 09:12 — Editoval vanok (05. 06. 2020 09:22)

Pozdravujem ↑ MichalAld:,
Poznamka.
Mas pravdu, ze niekedy pouzitie genialneho « Eulerovho vzorca » je velmi prakticke. ( tu https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula je o nom uzitocne citanie).

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

No vsak, netreba zabudnut, co sa tyka « druhej odmocniny » nenuloveho koplexneho cisla Z , ze ta koresponduje dvom rieseniam rovnice $W^2=Z$ .

Tak napr $W^2=-1$ ma dve iesenia $i$ a $-i$ .
( co tiez ukazuje, ze formalne sa neda hovorit o druhej odmocnine komplexneho cisla).

Podobna poznamka plati aj pre n° odmocniny.

Inac, uz aj sredoskolak by mal ovladat aj metodu taketo vypoctu v algebrickaj forme cf. ↑ vanok:. ( a specialne ked riesi komplexne rovnice 2°, ked uz to je v osnovach strednej skoly).

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2020 12:27

Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

#2 03. 06. 2020 13:24

Re: Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

#3 03. 06. 2020 13:31 — Editoval Rumburak (03. 06. 2020 13:32)

Re: Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

#4 03. 06. 2020 17:01

Re: Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

#5 03. 06. 2020 18:15

Re: Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

#6 04. 06. 2020 11:45

Re: Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

#7 04. 06. 2020 17:22

Re: Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

#8 04. 06. 2020 23:38

Re: Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

#9 05. 06. 2020 09:12 — Editoval vanok (05. 06. 2020 09:22)

Re: Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

Zápatí