Matematické Fórum

Kája2 · 09. 06. 2020 18:38

Dobrý den,
mohu poprosit o radu při řešení tohoto příkladu? Jedná se spíše o fyzikální aplikaci, ale jde mi o řešení. Mám naléz obecné řešení diferenciální rovnice $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+k^{2}x=2k\sin kt$ . Řešil jsem nejprve homogenní rovnici a dostal $\lambda ^{2}+k^{2}=0$ a odtud $\lambda _{1,2}=\mp ik$ a tudiž $x_{0}=C_{1}\sin kt+C_{2}\cos kt+u(x)$ a kvůli pravé straně jsem zvolil $u(x)=A\sin kt+B\cos kt$ .Odtud $u'(x)=Ak\cos kt-Bk\sin kt$ a $u''(x)=-Ak^{2}\sin kt-Bk^{2}cos kt$ . Ovšem po dosazení do rovnice jsem dostal $0=2k\sin kt$ , což mi moc nesedí (nemám jak určit A aB). Mohu poprosit o radu?

laszky · 09. 06. 2020 21:30

↑ Kája2:

Ahoj, protoze na prave strane rovnice je nasobek funkce z fundamentalniho systemu, je nutne hledat partikularni reseni ve tvaru

$u(t) = At\sin kt + Bt\cos kt$

MichalAld · 09. 06. 2020 23:52

Rovnice
$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+k^{2}x=0$

je rovnice netlumeného rezonančního obvodu (třeba LC obvod, nebo závaží na pružině) o úhlovém kmitočtu k. Pokud jej budeme budit frekvencí, která odpovídá rezonanční frekvenci, je ustálený stav nekonečno.. a pokud tedy začneme z nuly, bude výchylka pořád narůstat, takže je nutné hledat řešení ve tvaru, co zmínil ↑ laszky:

Kája2 · 10. 06. 2020 08:10

Dobrý den,
moc děkuji oběma!! ;-)

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2020 18:38

Diferenciální rovnice - fyzikální aplikace

#2 09. 06. 2020 21:30

Re: Diferenciální rovnice - fyzikální aplikace

#3 09. 06. 2020 23:52

Re: Diferenciální rovnice - fyzikální aplikace

#4 10. 06. 2020 08:10

Re: Diferenciální rovnice - fyzikální aplikace

Zápatí