Matematické Fórum

Kája2 · 12. 06. 2020 05:30

Dobrý den,
prosím o radu, jak na tento příklad. Mám určit gradient vektoru tlaku v hloubce h pod hladinou kapaliny. Hustota kapaliny je $\varrho$ a g je tíhové zrychlení. Pro hydrostatický tlak platí $p=h\varrho g$ , ovšem již nevím, jak k těm parciálním derivacím. Budu rád za každou radu.

edison · 12. 06. 2020 08:56

Předpokládám, že to nebude "gradient vektoru tlaku" ale vektor gradientu tlaku.

Mám za to, že v jedné ose to bude prosté derivace a v těch ostatních snad na hodnotu přijdeš i bez počítání.

Kája2 · 12. 06. 2020 12:13

U ostatních (x a y) bych řekl, že to bude nula a z-ové budu derivovat dle. které proměnné?

LukasM · 12. 06. 2020 12:43 — Editoval LukasM (12. 06. 2020 12:44)

↑ Kája2:
No, se kterou souřadnicí se mění hydrostatický tlak? Které písmenko ve tvé rovnici odpovídá této souřadnici?

Kája2 · 12. 06. 2020 14:43

↑ LukasM:
Děkuji, tudíž derivace podle hloubky h.

LukasM · 12. 06. 2020 15:50

↑ Kája2:
Ano. S tím, že znaménko záleží na tom, jak zvolíme směr té souřadnicové osy. Pokud má platit $p=+h\rho g$ , pak je hloubka h skutečně souřadnice a prostě podle něj budeš derivovat a vyjde ti kladný výsledek (tj. zvětšuju souřadnici, roste tlak).

MichalAld · 13. 06. 2020 08:05

Pokud vyjádříme tlak jako funkci souřadnic, tedy $p = p(x,y,z)$ je gradient vektor, jehož složky jsou po řadě

$\nabla p = \frac{\partial p}{\partial x},\frac{\partial p}{\partial y},\frac{\partial p}{\partial z}$

Takže celý problém spočívá v tom vyjádřit tlak jako funkci souřadnic. A před tím si musíme zvolit souřadný systém - kde bude mít počátek a jak bude natočený. A v tom máme úplně volnou ruku (přírodní zákony nezávisejí na tom, jak si zvolíme souřadný systém).

Můžeme si ho položit na hladinu tak, aby x-ová osa mířila kolmo dolů - potom bude h = x, tedy
$p = x \varrho g$

Stejně tak dobře si ho můžeme položit na hladinu osou z nahoru (a osou x třeba na sever), potom dostaneme
$p = -z \varrho g$

V obou případech bude mít gradient nenulovou jen jednu složku (x, nebo z), a bude rovná tomu $(-) \varrho g$

Stejně tak si ale můžeme natočit souřadný systém do obecného směru, a pak bude mít gradient nenulové všechny 3 složky.

Kája2 · 13. 06. 2020 08:13

↑ MichalAld:
Dobrý den,
všem moc děkuji ;-)

MichalAld · 13. 06. 2020 08:24

Co jsem napsal v předchozím příspěvku vypadá jednoduše, ale může se to velmi snadno zkomplikovat. Tohle by totiž platilo jen za předpokladu, že by byla Země placka, s homogenním gravitačním polem.

Takže vztah by fungoval na vesnickém rybníce, ale né na moři. Tam bychom museli vzít v úvahu kulový tvar země...takže když bychom si umístili souřadný systém přímo do středu země, byla by hloubka (R - poloměr země)

$h = R - \sqrt{x^2 + y^2+z^2}$

To už se nám bude derivovat mnohem veseleji.

Dále můžeme vzít také v úvahu, že gravitační zrychlení g není konstanta, nýbrž nám lineárně klesá směrem do středu země, tedy

$g = K \sqrt{x^2 + y^2+z^2}$
K - konstanta úměrnosti, kterou stanovíme tak, aby nám na povrchu země vyšlo g těch 9.81 (nebo kolik potřebujeme).

A to ještě pořád uvažujeme že hustota vody nezávisí na tlaku, tedy že je dokonale nestlačitelná.
Takže máme vztah

$p(x,y,z) = \varrho ( R - \sqrt{x^2 + y^2+z^2})K \sqrt{x^2 + y^2+z^2}$

a můžeme zvesela derivovat. Případně můžeme využít toho, že pro gradient součinu dvou funkcí platí (doufám) to samé jako pro derivaci součinu dvou funkcí, tedy že

$\nabla (\varrho hg) = \varrho (g\nabla h + h\nabla g)$

Asi každý, kdo tohle musel někdy reálně řešit ví, že mnohem lepší způsob je využít pro sféricky symetrické úlohy sférické souřadnice $p = p(r, \varphi ,\theta)$ protože potom je jak hloubka tak tíhové zrychlení pouze funkcí r, a na těch směrových úhlech nezávisí. Čímž se zase dostaneme zpátky k našemu původnímu řešení.