Matematické Fórum

Kate X · 14. 06. 2020 22:55

Zdravím, prosím jak z rovnice tečny udělat rovnici hyperboly, když vím bod dotyku? Opačný postup vím, ale do tohoto se zamotávám. Myslím že souřadnice bodu dotyku by se měly dosadit do rovnice tečny jako konstanty k x,y, ale dál jsem se nedostala.

surovec · 15. 06. 2020 07:56

↑ Kate X:
Přímka a bod dotyku => nekonečně mnoho hyperbol.

Kate X · 15. 06. 2020 08:45

↑ surovec:

No má mi tam ale vyjít jeden výsledek...

Cheop · 15. 06. 2020 08:50

↑ Kate X:
Mohla bys napsat originál zadání?
Co se má vlastně určit?

Kate X · 15. 06. 2020 09:18

Konkrétní zadání je tečna x-y-2=0, bod dotyku (4,2), a mám napsat osovou rovnici hyperboly... Má to vyjít (x^2)/8 -(y^2)/ 4 = 1. Nevím ale jak k němu dojít.

Cheop · 15. 06. 2020 09:31

↑ Kate X:
No to jsi nám zatajila, že má jít o osovou hyperbolu tj. střed je v počátku souřadnic a má tedy rovnici:
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

surovec

↑ Kate X:
Tak osová...
Rovnice tečny té hyperboly je $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$ . Když dosadíme bod dotyku, máme
$\frac{4x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}=1$ . Aby absolutní člen odpovídal zadání, vynásobíme rovnici dvěma:
$\frac{8}{a^2}x-\frac{4}{b^2}y-2=0$ .
No a teď už je to jasné, ne?

Kate X · 15. 06. 2020 10:48

↑ surovec:

Je mi jasné, jak to pak vyjde, ale nechápu, jak funguje že ty čísla můžu dát do jmenovatele a mám z nich pak to a, b...

surovec · 15. 06. 2020 11:00

↑ Kate X:
Teď zas asi nerozumím já tobě. Prostě koeficient tečny u x je $\frac{8}{a^2}$ a v zadání je koeficient u x jednička (x - y - 2 = 0). Takže $\frac{8}{a^2}=1$ a tím pádem $a^2=8$ . Stejně pak to $b$ .

misaH · 15. 06. 2020 12:49

toto je tá dotyčnica

$\frac{4x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}=1$

toto tiež

$x - y -2=0$

Cheop · 15. 06. 2020 13:37 — Editoval Cheop (15. 06. 2020 13:43)

↑ Kate X:
Můžeš to počítat i takto:
Bod dotyku (4,2) dosadíš do rovnice hyperboly a dostaneš:
$\frac{16}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1\\a^2=\frac{16b^2}{b^2+4}$
Z rovnice tečny
$x-y-2=0\\y=x-2$ - dosadím do hyperboly a dostanu:
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{(x-2)^2}{b^2}=1\\\frac{x^2(b^2+4)}{16b^2}-\frac{x^2-4x+4}{b^2}=1\\x^2b^2+4x^2-16x^2+64x-64=16b^2\\x^2(b^2-12)+64x-16b^2-64=0$ je to tečna proto diskriminant D=0
$64^2+(4b^2-48)(16b^2+64)=0\\64b^4-512b^2+1024=0\\b^4-8b^2+16=0$ substituce $b^2=t$
$t^2-8t+16=0\\t=4$ tj:
$b^2=4\\a^2=\frac{16b^2}{b^2+4}\\a^2=\frac{16\cdot 4}{4+4}=8$
Rovnice hyperboly:
$\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$