Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 02. 08. 2020 23:50

anddry97
Příspěvky: 60
Škola: MU přf
Pozice: student
Reputace:   
 

Větička z algebry

Ahoj, nemohu rozlousknout jednu větu:
//forum.matematika.cz/upload3/img/2020-08/04879_veta.jpg

přičemž:
$(m,n)=1$ značí největší společný dělitel čisel n,n
řádem prvku $a$ myslíme nejmenší exponent k takový, že $a^k=1$

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) anddry97)

#2 02. 08. 2020 23:52

anddry97
Příspěvky: 60
Škola: MU přf
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Větička z algebry

V záveru chtějí dokázat, že m*n je skutečně řád. Říkají toto:
//forum.matematika.cz/upload3/img/2020-08/05098_tvrzeni.jpg

Nevidím, proč to platí. Kdyby mě někdo přesměroval na nějaký důkaz, či ho ukázal byl bych moc vděčný.

Děkuji

Offline

 

#3 03. 08. 2020 09:02

jarrro
Příspěvky: 5402
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Větička z algebry

podľa pána Bezouta existujú celé čísla $a,b$ také, že
$1=am+bn$ potom $t=amt+bnt$ podľa predpokladu existujú celé čísla $k,l$ také, že $km=t=ln$ teda
$t=amln+bnkm=mn(al+bk)$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#4 03. 08. 2020 09:57 — Editoval nejsem_tonda (03. 08. 2020 11:27)

nejsem_tonda
 
Příspěvky: 649
Reputace:   54 
 

Re: Větička z algebry

Jarrro ti napsal pekny dukaz. Ja zkusim jeste dodat pohled, jak "proste citit, ze to tak je".

Predstavim si cisla t, m, n rozlozena na prvocisla. Prvocisla, ktera jsou obsazena v m nazveme modra. Prvocisla, ktera jsou obsazena v n nazveme cervena. Nesoudelnost rika, ze zadne prvocislo neni zaroven modre i cervene.

Protoze m | t, tak t obsahuje vsechna modra prvocisla v dostatecne velke mocnine. Podobne z delitelnosti n | t plyne, ze t obsahuje i vsechna cervena prvocisla v dostatecne mocnine. Znovu pripomenu, ze mnoziny modrych a cervenych prvocisel se navzajem neprotinaji, takze t je delitelne i soucinem mn (tj. modrymi a cervenymi prvocisly v tech mocninach, ve kterych se objevuji v m, resp. v n)

--------------------------------------------------------------------------------------

Pro jistotu to jeste ukazu na prikladu. Predstavuju si to nejak takhle:
$\color{blue}m=3^2\cdot7^5\cdot11$
$\color{red}n=5^4\cdot13^3\cdot19\cdot61^4$

Protoze m | t, tak t obsahuje prvocisla 3, 7, 11 v dostatecnych mocninach, tj. 3 v mocnine aspon 2, 7 v mocnine aspon 5, 11 aspon v mocnine 1. Protoze n | t, tak t obsahuje i prvocisla 5, 13, 19, 61, opet v dostatecnych mocninach.

Takze napriklad
$t=2^6\cdot{\color{blue}3^9}\cdot{\color{red}5^4}\cdot{\color{blue}7^5}\cdot{\color{blue}11^2}\cdot{\color{red}13^4}\cdot17^4\cdot{\color{red}19}\cdot23^4\cdot31^4\cdot{\color{red}61^9}\cdot101^4$
a je proste videt, ze t je "dostatecne modre" i "dostatecne cervene", aby bylo delitelne soucinem mn.

--------------------------------------------------------------------------------------

Da se to napsat cele i tak, aby to byl formalne korektni dukaz, ale bylo by tam hodne indexu a mocnin :) A hlavne - nedavalo by to ten vhled, kvuli kteremu svuj komentar pisu.


Znate videa a ucebnici?

Offline

 

#5 03. 08. 2020 18:33

check_drummer
Příspěvky: 3528
Reputace:   91 
 

Re: Větička z algebry

Ahoj,
co to zkusit úplně přímočaře:
t=m.x, t=n.y, tj. (1) mx=ny, tj. n | x, m | y, tj. x=nu, y=mv a po dosazení do (1) t=mnu=mnv, tj. mn | t.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#6 03. 08. 2020 19:33

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Větička z algebry

Ahoj ↑ check_drummer:,
To mas pravdu, ze sa to da dokazat velmi jednoducho. 
Mozno, pre zaciatocnika je najprirozdzenejsie pouzit zakladnu vetu atitmetiky:
Cize to, ze kazde nenulove cislo a rozne od $1$ sa pise, az na usporiadanie, jednoznacne ako sucin striktne kladnych mocnin prvocisiel.
Tak znama veta z #2, sa potom jednoducho ukaze vdaka tomu, ze nesudelitelne $m$ a $n$ maju v ich rozkladoch len rozlicne prvocisla. 
Zvysok tohto dokazu necham citatelom.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 03. 08. 2020 19:54

anddry97
Příspěvky: 60
Škola: MU přf
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Větička z algebry

tohle je krásně vysvětleno

děkuji všem

Offline

 

#8 04. 08. 2020 09:45

nejsem_tonda
 
Příspěvky: 649
Reputace:   54 
 

Re: Větička z algebry

↑ check_drummer:

mx=ny, tj. n | x

Tady skryte vyuzijes te nesoudelitelnosti. Myslim si, ze kdybys tuto implikaci chtel zduvodnit podrobne, nevyhnes se tomu, co jsem ukazoval s modrymi a cervenymi prvocisly (coz je totez o cem pise i vanok).


Znate videa a ucebnici?

Offline

 

#9 05. 08. 2020 20:47

check_drummer
Příspěvky: 3528
Reputace:   91 
 

Re: Větička z algebry

↑ nejsem_tonda:
Ahoj, využívám tvrzení, že pokud nsd(m,n)=1, tak potom z n | mx plyne, že n | x. Zkusím se zamyslet, zda to půjde dokázat bez nutnosti elemntárního rozkladu...


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#10 05. 08. 2020 22:14 — Editoval vanok (05. 08. 2020 22:15)

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Větička z algebry

Ahoj ↑ check_drummer:,
Mozes pouzit kontrapoziciu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson