Matematické Fórum

anddry97 · 02. 08. 2020 23:50

Ahoj, nemohu rozlousknout jednu větu:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-08/04879_veta.jpg

přičemž:
$(m,n)=1$ značí největší společný dělitel čisel n,n
řádem prvku $a$ myslíme nejmenší exponent k takový, že $a^k=1$

anddry97 · 02. 08. 2020 23:52

V záveru chtějí dokázat, že m*n je skutečně řád. Říkají toto:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-08/05098_tvrzeni.jpg

Nevidím, proč to platí. Kdyby mě někdo přesměroval na nějaký důkaz, či ho ukázal byl bych moc vděčný.

Děkuji

jarrro · 03. 08. 2020 09:02

podľa pána Bezouta existujú celé čísla $a,b$ také, že
$1=am+bn$ potom $t=amt+bnt$ podľa predpokladu existujú celé čísla $k,l$ také, že $km=t=ln$ teda
$t=amln+bnkm=mn(al+bk)$

nejsem_tonda

Jarrro ti napsal pekny dukaz. Ja zkusim jeste dodat pohled, jak "proste citit, ze to tak je".

Predstavim si cisla t, m, n rozlozena na prvocisla. Prvocisla, ktera jsou obsazena v m nazveme modra. Prvocisla, ktera jsou obsazena v n nazveme cervena. Nesoudelnost rika, ze zadne prvocislo neni zaroven modre i cervene.

Protoze m | t, tak t obsahuje vsechna modra prvocisla v dostatecne velke mocnine. Podobne z delitelnosti n | t plyne, ze t obsahuje i vsechna cervena prvocisla v dostatecne mocnine. Znovu pripomenu, ze mnoziny modrych a cervenych prvocisel se navzajem neprotinaji, takze t je delitelne i soucinem mn (tj. modrymi a cervenymi prvocisly v tech mocninach, ve kterych se objevuji v m, resp. v n)

--------------------------------------------------------------------------------------

Pro jistotu to jeste ukazu na prikladu. Predstavuju si to nejak takhle:
$\color{blue}m=3^2\cdot7^5\cdot11$
$\color{red}n=5^4\cdot13^3\cdot19\cdot61^4$

Protoze m | t, tak t obsahuje prvocisla 3, 7, 11 v dostatecnych mocninach, tj. 3 v mocnine aspon 2, 7 v mocnine aspon 5, 11 aspon v mocnine 1. Protoze n | t, tak t obsahuje i prvocisla 5, 13, 19, 61, opet v dostatecnych mocninach.

Takze napriklad
$t=2^6\cdot{\color{blue}3^9}\cdot{\color{red}5^4}\cdot{\color{blue}7^5}\cdot{\color{blue}11^2}\cdot{\color{red}13^4}\cdot17^4\cdot{\color{red}19}\cdot23^4\cdot31^4\cdot{\color{red}61^9}\cdot101^4$
a je proste videt, ze t je "dostatecne modre" i "dostatecne cervene", aby bylo delitelne soucinem mn.

--------------------------------------------------------------------------------------

Da se to napsat cele i tak, aby to byl formalne korektni dukaz, ale bylo by tam hodne indexu a mocnin :) A hlavne - nedavalo by to ten vhled, kvuli kteremu svuj komentar pisu.

check_drummer · 03. 08. 2020 18:33

Ahoj,
co to zkusit úplně přímočaře:
t=m.x, t=n.y, tj. (1) mx=ny, tj. n | x, m | y, tj. x=nu, y=mv a po dosazení do (1) t=mnu=mnv, tj. mn | t.

vanok · 03. 08. 2020 19:33

Ahoj ↑ check_drummer:,
To mas pravdu, ze sa to da dokazat velmi jednoducho.
Mozno, pre zaciatocnika je najprirozdzenejsie pouzit zakladnu vetu atitmetiky:
Cize to, ze kazde nenulove cislo a rozne od $1$ sa pise, az na usporiadanie, jednoznacne ako sucin striktne kladnych mocnin prvocisiel.
Tak znama veta z #2, sa potom jednoducho ukaze vdaka tomu, ze nesudelitelne $m$ a $n$ maju v ich rozkladoch len rozlicne prvocisla.
Zvysok tohto dokazu necham citatelom.

anddry97 · 03. 08. 2020 19:54

tohle je krásně vysvětleno

děkuji všem

nejsem_tonda · 04. 08. 2020 09:45

↑ check_drummer:

mx=ny, tj. n | x

Tady skryte vyuzijes te nesoudelitelnosti. Myslim si, ze kdybys tuto implikaci chtel zduvodnit podrobne, nevyhnes se tomu, co jsem ukazoval s modrymi a cervenymi prvocisly (coz je totez o cem pise i vanok).

check_drummer · 05. 08. 2020 20:47

↑ nejsem_tonda:
Ahoj, využívám tvrzení, že pokud nsd(m,n)=1, tak potom z n | mx plyne, že n | x. Zkusím se zamyslet, zda to půjde dokázat bez nutnosti elemntárního rozkladu...

vanok · 05. 08. 2020 22:14 — Editoval vanok (05. 08. 2020 22:15)

Ahoj ↑ check_drummer:,
Mozes pouzit kontrapoziciu.

Matematické Fórum

#1 02. 08. 2020 23:50

Větička z algebry

#2 02. 08. 2020 23:52

Re: Větička z algebry

#3 03. 08. 2020 09:02

Re: Větička z algebry

#4 03. 08. 2020 09:57 — Editoval nejsem_tonda (03. 08. 2020 11:27)

Re: Větička z algebry

#5 03. 08. 2020 18:33

Re: Větička z algebry

#6 03. 08. 2020 19:33

Re: Větička z algebry

#7 03. 08. 2020 19:54

Re: Větička z algebry

#8 04. 08. 2020 09:45

Re: Větička z algebry

#9 05. 08. 2020 20:47

Re: Větička z algebry

#10 05. 08. 2020 22:14 — Editoval vanok (05. 08. 2020 22:15)

Re: Větička z algebry

Zápatí