Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 08. 2020 19:09

Makrofág
Příspěvky: 73
Škola: Pedf UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Hledání lepší definice rovinné křivky

Ahoj!
Prosímvás, chci ujistit, že má smysl vymyslet lepší definici jednoduché a uzavřené křivky, anebo vysvětlit, proč jsou definice, které zde uvedu, dostačující.

Mám problém s tím, že mám v soustavě souřadnic dány dvě shodné úsečky (tj. rovnají se sobě jakožto množiny bodů), a přesto o jedné z nich můžu říct, že je to jednoduchá křivka (tak by to mělo být) a o druhé říct, že je to uzavřená křivka. To mi vadí. Mám se s tím smířit, anebo tenhle problém volá po změně?

Příběh se má takhle...
Nechť jsou dána dvě různá reálná čísla: $\alpha, \beta \in \mathbb{R*} : \alpha \ne \beta$ . Pak je dán interval: $I=\langle \alpha ; \beta \rangle$ . Dále, nechť jsou dány dvě spojité funkce $f, g$.
Pak rovinná křivka je $\bigcup_{x \in I}^{}\{[f(x); g(x)]\}$ .

Definoval jsem teď křivku obecně jakoukoliv. Teď definuju křivku jednoduchou a uzavřenou, abych to tady pak strašně rozbalil...

Mějme na křivce $k$ dva body $A, B: A = [f(\alpha); g(\alpha)], B = [f(\beta); g(\beta)]$ .
Pak pokud:
a) $A \ne B$ : $k$ je jednoduchá křivka
b) $A = B$ : $k$ je uzavřená křivka .

Tak a teď definuju úsečku jakožto jednoduchou křivku:
$\alpha = 0, \beta = 1$
$I = \langle 0; 1\rangle$
$f(x) = x$
$g(x) = x$
úsečka $l_1$ = $\bigcup_{x \in I}^{}\{[x; x]\}$

Prostě vznikne úsečka s krajními body $[0; 0]$ a $[1; 1]$ .

Nó a teď chci definovat tu samou úsečku jako uzavřenou křivku:
$\alpha = -1, \beta = 1$
$I = \langle -1; 1 \rangle$
$f(x) = |x|$
$g(x) = |x|$
úsečka $l_2$ = $\bigcup_{x \in I}^{}\{[|x|; |x|]\}$

Takže: $l_1 = l_2$ , a přesto $l_1$ je křivka jednoduchá a $l_2$ je křivka uzavřená.

Proč mi to vadí? Protože jsem si o uzavřených křivkách myslel, že dělí rovinu alespoň na dvě disjunktní části. Jenže vidím, že to tak obecně není. Chci v tom mít prostě jasno. Díky, že jste dočetli až sem.


Není všechno, co se třpytí, není všechno k pochopení.
Není lehké živobytí, a přesto zloba v nás není.

Offline

 

#2 24. 09. 2021 08:58

Eratosthenes
Příspěvky: 1987
Reputace:   121 
 

Re: Hledání lepší definice rovinné křivky

↑ Makrofág:

>> a) [mathjax]A \ne B[/mathjax] : [mathjax]k[/mathjax] je jednoduchá křivka

To určitě ne

[mathjax]f(x) = \sin 5x;  g(x) =\cos 4x[/mathjax]

[mathjax]\alpha = 0; \beta =2\pi[/mathjax]

Aby křivka dělila rovinu na dvě disjunktní množiny, musí být uzavřená a jednoduchá. Ani jedno nemáš definováno dobře. A obávám se, že motáš dohromady křivku a její parametrizaci. To jsou dvě rozdílné věci.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#3 25. 09. 2021 18:47

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 449
Reputace:   
Web
 

Re: Hledání lepší definice rovinné křivky

První křivka (jednoduchá) představuje úsečku z bodu [0;0] do bodu [1;1]
Druhá křivka představuje úsečku z bodu [1;1]  do bodu [0;0] a zpět.
Po jedné úsečce jedu dvakrát. Proto vypadají navenek stejně.

Offline

 

#4 Dnes 00:08

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Hledání lepší definice rovinné křivky

Mě zas třeba na škole vrtalo hlavou - že ve 3D prostoru nelze vyjádřit přímku jednou rovnicí - tak jako ve 2D - ax + by + c = 0.

Ale rovnice tvaru  [mathjax]x^2 + y^2 = 0[/mathjax] je vlastně přímka (osa z). A vhodným posunutím a natočením můžeme takto v principu vyjádřit jakoukoliv přímku...aspoň si to myslím...

Offline

 

#5 Dnes 00:29

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5593
Reputace:   214 
Web
 

Re: Hledání lepší definice rovinné křivky

↑ MichalAld: Nejde to jednou linearni rovnici. Nelinarni rovnici je to trivialni.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson