Matematické Fórum

Makrofág · 20. 08. 2020 18:27

Ahoj!
Prosímvás, chci ujistit, že má smysl vymyslet lepší definici jednoduché a uzavřené křivky, anebo vysvětlit, proč jsou definice, které zde uvedu, dostačující.

Mám problém s tím, že mám v soustavě souřadnic dány dvě shodné úsečky (tj. rovnají se sobě jakožto množiny bodů), a přesto o jedné z nich můžu říct, že je to jednoduchá křivka (tak by to mělo být) a o druhé říct, že je to uzavřená křivka. To mi vadí. Mám se s tím smířit, anebo tenhle problém volá po změně?

Příběh se má takhle...
Nechť jsou dána dvě různá reálná čísla: $\alpha , \beta \in \mathbb{R}*: \alpha \ne \beta$ . Pak je dán interval: $I = \langle \alpha ; \beta \rangle$ . Dále, nechť jsou dány dvě spojité funkce $f, g$ .
Pak rovinná křivka je $\bigcup_{x \in I}^{}\{[f(x); g(x)]\}$ .

Definoval jsem teď křivku obecně jakoukoliv. Teď definuju křivku jednoduchou a uzavřenou, abych to tady pak strašně rozbalil...

Mějme na křivce $k$ dva body $A, B: A = [f(\alpha); f(\alpha)], B = [f(\beta); f(\beta)]$ .
Pak pokud:
a) $A \ne B$ : $k$ je jednoduchá křivka
b) $A = B$ : $k$ je uzavřená křivka.

Tak a teď definuju úsečku jakožto jednoduchou křivku:
$\alpha = 0, \beta = 1$
$I = \langle 0; 1\rangle$
$f(x) = x$
$g(x) = x$
úsečka $l_1$ = $\bigcup_{x \in I}^{}\{[x; x]\}$

Prostě vznikne úsečka s krajními body $[0; 0]$ a $[1; 1]$ .
Nó a teď chci definovat tu samou úsečku jako uzavřenou křivku:
$\alpha = -1, \beta = 1$
$I = \langle -1; 1\rangle$
$f(x) = |x|$
$g(x) = |x|$
úsečka $l_2$ = $\bigcup_{x \in I}^{}\{[|x|; |x|]\}$

Takže: $l_1 = l_2$ , a přesto $l_1$ je křivka jednoduchá a $l_2$ je křivka uzavřená.

Proč mi to vadí? Protože jsem si o uzavřených křivkách myslel, že dělí rovinu alespoň na dvě disjunktní části. Jenže vidím, že to tak obecně není. Chci v tom mít prostě jasno. Díky, že jste dočetli až sem.