Matematické Fórum

2M70 · 11. 10. 2020 18:58

Musím se přiznat, že tady si moc nevím rady.

Uvažujme $V=P^{5}(x,\mathbb{R})$ se skalárním součinem

$g(p(x),q(x))=\int_{-1}^{1}p(x)q(x)dx$

a bázi $B=(1,x^{2},x^{4},x,x^{3},x^{5})$ ve V.

Ukažte, že matice $[g]_{B}$ je blokově diagonální se dvěma 3x3 diagonálními bloky, a spočtěte druhý z těchto bloků. Co můžeme říci o vzájemném vztahu popdprostorů
$<1,x^{2},x^{4}>$ a $<x,x^{3},x^{5}>$ ?

Nápad:

Reálný skalární součin je symetrická, bilineární, pozitivně definitní forma. Matice tedy určitě musí být symetrická.

První blok by mohl být

( $\int_{-1}^{1}1dx$ , $\int_{-1}^{1}x^{2}dx$ , $\int_{-1}^{1}x^{4}dx$

$\int_{-1}^{1}x^{2}dx$ , $\int_{-1}^{1}x^{4}dx$ , $\int_{-1}^{1}x^{6}dx$

$\int_{-1}^{1}x^{4}dx$ , $\int_{-1}^{1}x^{6}dx$ , $\int_{-1}^{1}x^{8}dx$ )

Pravý dolní blok by měl být strukturovaný podobně, ale tam už si nevím moc rady s kombinací mocnin u $x,x^{3},x^{5}$ .

Předpokládám, že pravý horní a levý dolní blok by měly být celé nulové.

Co říci o vztahu podprostorů $<1,x^{2},x^{4}>$ a $<x,x^{3},x^{5}>$ opravdu nevím.

Díky za jakoukoli radu, pomoc.

vanok · 11. 10. 2020 20:08

Ahoj ↑ 2M70:,

Niekolko malych myslienok.
To poradie vektorov je dolezite ( treba ho respektovat)
To pocitas prvky GRAM-ovej matice.
Je to 6X6 matica.
Tie nulove bloky 3 x3 du tam preto lebo
Tvoj integral x^n je nulovy pre neparne n.
A daj to do suvisu z ortigonalitou.

2M70 · 11. 10. 2020 20:39

↑ vanok:

Tu 6x6 matici s dvěma 3x3 bloky, a nulovost ostatních 2 bloků, jsem vydedukoval ze zadání. Vlastně se to má jen dokázat.

Není mi ale jasné, která x^n budu spolu násobit v těch ostatních 27 integrálech (resp. vlastně stačí těch posledních 9).

Při výpočtu jsem vycházel z podobného, jednoduššího příkladu:

Nechť $V=P^{2}(x,\mathbb{R})$ , g: V x V --> $\mathbb{R}$ je bilineární forma definovaná předpisem

$g(p(x),q(x))=\int_{0}^{1}p(x)q(x)dx$

Označme K = $\{1,x,x^{2}\}$ a najděme matici $[g]_{K}$

Řešení:

$[g]_{K}$ =

( $\int_{0}^{1}1dx$ $\int_{0}^{1}xdx$ $\int_{0}^{1}x^{2}dx$
$\int_{0}^{1}xdx$ $\int_{0}^{1}x^{2}dx$ $\int_{0}^{1}x^{3}dx$
$\int_{0}^{1}x^{2}dx$ $\int_{0}^{1}x^{3}dx$ $\int_{0}^{1}x^{4}dx$ )

Tady jsou vlastně všechny integrály kladné, bez ohledu na paritu mocnin x v integrandech.

To jsem zkusil aplikovat na náš příklad, tedy na levý horní blok. U ostatních bloků si nejsem jistý, která x^n spolu násobit v integrandech.

Stále přemýšlím, jaký vztah může být mezi podprostory $<1,x^{2},x^{4}>$ a $<x,x^{3},x^{5}>$ . Tady mě nic nenapadá. Taky moc nerozumím tomuto vyjádření podprostorů.

Dík za pomoc!

vanok · 11. 10. 2020 20:56 — Editoval vanok (12. 10. 2020 04:40)

↑ 2M70:,
Ty si pissl v #1, ze integraly su od -1 do 1. Tak ta parita hra rolu.
A tie nulove bloky ak respektujes porzdie basy B mas okamzite.

2M70 · 11. 10. 2020 21:15

↑ vanok:

Něco mě napadlo:

mají se prvky báze B do integrandů integrálů dosazovat takto: ?

1.1 1.x^2 1.x^4 1.x 1.x^3 1.x^5
x^2.1 x^2.x^2 x^2.x^4 x^2.x x^2.x^3 x^2.x^5
x^4.1 x^4.x^2 x^4.x^4 x^4.x x^4.x^3 x^4.x^5
x.1 x.x^2 x.x^4 x.x x.x^3 x.x^5
x^3.1 x^3.x^2 x^3.x^4 x^3.x x^3.x^3 x^3.x^5
x^5.1 x^5.x^2 x^5.x^4 x^5.x x^5.x^3 x^5.x^5

Tedy 1.řádek
$\int_{-1}^{1}1.1dx$ $\int_{-1}^{1}1.x^{2}dx$ $\int_{-1}^{1}1.x^{4}dx$ $\int_{-1}^{1}1.xdx$
atd.

vanok · 11. 10. 2020 21:29 — Editoval vanok (11. 10. 2020 21:30)

↑ 2M70:,
Ano integraly tych prvkov.

vanok · 11. 10. 2020 21:44 — Editoval vanok (12. 10. 2020 04:41)

Cize vdaka tym vypoctom ukazes lahko ukazes ( no povedal by som vidis), ze $<1,x^{2},x^{4}>$ a $<x,x^{3},x^{5}>$ su ortogonalne. ( pre tento skalarny sucin).

Poznamka ( na blizku budunoct?):
Tvoja baza nie je ortogonormalna pre tvoj skalarny sucin.

2M70 · 11. 10. 2020 21:49

↑ vanok:

V tom případě druhý blok je

$\int_{-1}^{1}x^{2}dx$ $\int_{-1}^{1}x^{4}dx$ $\int_{-1}^{1}x^{6}dx$
$\int_{-1}^{1}x^{4}dx$ $\int_{-1}^{1}x^{6}dx$ $\int_{-1}^{1}x^{8}dx$
$\int_{-1}^{1}x^{6}dx$ $\int_{-1}^{1}x^{8}dx$ $\int_{-1}^{1}x^{10}dx$

A tedy po vyčíslení

(2/3 2/5 2/7
2/5 2/7 2/9
2/7 2/9 2/11)

2M70 · 11. 10. 2020 21:52

vanok napsal(a):
Cize vdaka tym vypoctom ukazes lahko ukazes ( no povedal by som vydis), ze $<1,x^{2},x^{4}>$ a $<x,x^{3},x^{5}>$ su ortogonalne. ( pre tento skalarny sucin).

No tvoja baza nie je ortogonormalna pre tvoj skalarny sucin.

Já tam tedy tu ortogonalitu tak jednoduše nevidím. Nebyla by ještě nápověda?

vanok · 11. 10. 2020 22:05 — Editoval vanok (12. 10. 2020 04:42)

↑ 2M70: , orttogoonalita dvoch prvkov znamena, ze ich skalarny sucin je nulovy.

Co sa tyka poslednej o riadku co citujes, tam robim poznamku na nieco co uvidis asi v blizzkej buducnosti na prednaska s : ide o https://cs.wikipedia.org/wiki/Legendreovy_polynomy ( a je dobre to pozriet aj inych jazykoch. Engl, Fr. ...)
No mozno mas na to este cas.

2M70 · 11. 10. 2020 22:20

↑ vanok:

Předpokládal jsem, že nulovost skalárního součinu = ortogonalita (kolmost) se týká jen vektorů.

Mám tedy "vzít" podprostory $<1,x^{2},x^{4}>$ a $<x,x^{3},x^{5}>$ ,

spočítat

$\int_{-1}^{1}1.xdx$ + $\int_{-1}^{1}x^{2}.x^{3}dx$ + $\int_{-1}^{1}x^{4}.x^{5}dx$ =

$\int_{-1}^{1}xdx$ + $\int_{-1}^{1}x^{5}dx$ + $\int_{-1}^{1}x^{9}dx$ $=0$

a tím je ortogonalita podprostorů (???) dokázána?

vanok · 11. 10. 2020 22:45 — Editoval vanok (11. 10. 2020 22:59)

↑ 2M70:,
Skoro ano, ( treba mat 9 vvpoctov) ale vsak si to uz urobil v tej Gram-oven matici. ( tak to len poznamenaj a zbytocne sa nenamahaj).

A taketo veci vies rychlo dokazat : ak jeden vektor ( tu je to polynom) ma nulovy skalarny sucin z dvomi vektormy tak skalarny sucin z kazdou LK tych vektorov je tiez nulovy (= ortonormalny). Toto vhodne mozes vyuzi, na kolmost = ortonoralitu priestrov $<x,x^{3},x^{5}>$ a $<1,x^{2},x^{4}>$ ....
( Cize tu ti ide o sikovne popisanie a pouzitie toho co som vyssie napisal).

2M70 · 11. 10. 2020 22:59

vanok napsal(a):
↑ 2M70:,

A taketo veci vies rychlo dokazat : ak jeden vektor ( tu je to polynom) ma nulovy skalarny sucin z dvomi vektormy tak skalarny sucin z kazdou LK tych vektorov je tiez nulovy (= ortonormalny).

Tohle jsem úplně nepochopil...

vanok · 11. 10. 2020 23:18 — Editoval vanok (11. 10. 2020 23:20)

↑ 2M70:, ze
Oznacim tu skalazny sucin (v|u). Tak napr. $(x|^2x^3)=0$ .... to zodpoveda $\int_{-1}^{1}x^2.x^{3}dx=0$ …

A vlasnost ak $(u|v) =0$ a tiez $(u|w)=0$ a $z$ je lubuvolna LK vektorov $v;w$ tak aj $(u|z)=0$ .

To islo o tuto vseobecny vlasnost. A som sa pytal ci to vies dokazat a pouzit?
(Ak nie tak skus nast ten dokaz).

2M70 · 12. 10. 2020 15:32

↑ vanok:

Připomíná to zápis skalárního součinu v kvantové mechanice.

Co přesně mám umět dokázat a použít?

vanok · 12. 10. 2020 19:01 — Editoval vanok (13. 10. 2020 07:21)

↑ 2M70:,
Ze ak mas dve “rodiny” vektorov ktorych prvky su vsetky orthogonale navzajom , tak aj kombinacie vektorov z kazdej z nich su tiez ortogonalne.

Ked to vies tak mozes povedat( v tvojom pripade) , ze aj $<1,x^{2},x^{4}>$ a $<x,x^{3},x^{5}>$ su ortogonalne.

2M70 · 13. 10. 2020 11:12

↑ vanok:

Díky moc za pomoc!

Matematické Fórum

#1 11. 10. 2020 18:58

Matice skalárního součinu zadaného integrály

#2 11. 10. 2020 20:08

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

#3 11. 10. 2020 20:39

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

#4 11. 10. 2020 20:56 — Editoval vanok (12. 10. 2020 04:40)

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

#5 11. 10. 2020 21:15

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

#6 11. 10. 2020 21:29 — Editoval vanok (11. 10. 2020 21:30)

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

#7 11. 10. 2020 21:44 — Editoval vanok (12. 10. 2020 04:41)

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

#8 11. 10. 2020 21:49

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

#9 11. 10. 2020 21:52

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

vanok napsal(a):

#10 11. 10. 2020 22:05 — Editoval vanok (12. 10. 2020 04:42)

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

#11 11. 10. 2020 22:20

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

#12 11. 10. 2020 22:45 — Editoval vanok (11. 10. 2020 22:59)

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

#13 11. 10. 2020 22:59

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

vanok napsal(a):

#14 11. 10. 2020 23:18 — Editoval vanok (11. 10. 2020 23:20)

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

#15 12. 10. 2020 15:32

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

#16 12. 10. 2020 19:01 — Editoval vanok (13. 10. 2020 07:21)

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

#17 13. 10. 2020 11:12

Re: Matice skalárního součinu zadaného integrály

Zápatí