Matematické Fórum

2M70 · 22. 10. 2020 22:44

Mám vyšetřit stejnoměrnou konvergenci posloupnosti funkcí

$f_{n}(x)=\frac{arctg (x^{n})}{n}$

a dopředu vím, že má stejnoměrně konvergovat pro všechna $\mathbb{R}$ .

První problém - llimita fn(x) pro $n\Rightarrow \infty$ .

Smím vzít v úvahu, že arctg "čehokoli" je $\frac{\pi }{2}$

a tedy $\lim_{n\to\infty }\frac{arctg (x^{n})}{n}=\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{\pi }{2}}{n}=0$ ?

Pokud ano, mám bodovou limitu.

Dále,
$\sigma =sup |g_{n}(x)|=sup|f_{n}(x)-f(x)|$
$\sigma =sup |g_{n}(x)|=sup|\frac{arctg(x^{n})}{n}-0|$

Hledám tedy supremum "nové funkce", získané z původní odečtením bodové limity.

Supremum by mělo brát v úvahu "nejhorší možný odhad",
pro $arctg(x^{n})$ by to opět mělo být $\frac{\pi }{2}$

a pak by supremum mělo být
$\sigma =\lim_{n\to\infty }\frac{arctg(x^{n})}{n}=\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{\pi }{2}}{n}=0$

Posloupnost funkcí by tedy měla být stejnoměrně konvergentní na celém $\mathbb{R}$ .

Je tento postup aspoň trochu korektní?
Měl jsem ještě provádět výpočet první derivace a zjišťovat bod(y) extrému?

Pracoval jsem tentorkát rychleji, z důvodu, že jsem již "věděl výsledek". Nicméně potřebuji přijatelné zdůvodnění.

Uvítám jakékoli rady, výhrady, připomínky,...

Předem díky!

krakonoš · 23. 10. 2020 00:06

↑ 2M70:
Pokud x=1/2 například, dostáváš v čitateli arctg(0)=0.
Takže limita je typu 0/nekonečno pro|x|<1.
Nedá se to tedy přímo vše nahradit pouhým pí/2.
Přesnější úvaha, která by zahrnovala všechny případy x , je použití věty o sevřené limitě, kde využiješ omezenosti funkce arctg zdola i shora.

2M70 · 23. 10. 2020 14:23

↑ krakonoš:

Jak mám tedy vysvětlit, že pro |x| < 1 to je jinak, resp. jak má vypadat $\sigma =|f_{n}(x)-f(x)|$ , když na 100% vím, že má posloupnost funkcí stejnoměrně konvergovat na celém $(-\infty ,+\infty )$ ?

Bati · 23. 10. 2020 14:55

arctg je omezena funkce na R. Tim padem arctg(...)/n bude vzdy konvergovat stejnomerne, z definice.

2M70 · 23. 10. 2020 15:07

↑ Bati:

Znejistil mě příspěvek ↑ krakonoš:, je pravda, že když |x|<1, tak x^n pro $n\Rightarrow \infty$ jde opravdu k nule a celkově dostávám neurčitý výraz $\frac{0}{\infty }$ .
Pro všechna |x| > 1 to funguje, x^n jde do nekonečna a arctg x^n jde k $\frac{\pi }{2}$ .

Tak přemýšlím, jak vybruslit z toho neurčitého výrazu a dokázat stejnoměrnou konvergenci pro |x|<1.

Bati · 23. 10. 2020 15:19

↑ 2M70:
1) $0/\infty=0$
2) je uplne jedno, co je tam za argument. Bud $\epsilon>0$ . Zvolim $n_0>M/\epsilon$ , kde $M$ je supremum $|h|$ , kde $h$ je nejaka omezena funkce. Pak $\sup_x|h/n|\leq M/n<M\epsilon/M=\epsilon$ pro vsechny $n>n_0$ , hotovo.

2M70 · 23. 10. 2020 15:28

↑ Bati:

ad 1) Nevím, zda si v látce o stejnoměrné konvergenci mohu povolit takovéhle "faux pas". Dá se tato "určitá hodnota neurčitého výrazu" nějak zdůvodnit?

ad 2) Nevím, jestli mi projde zápis $\sup_x|h/n|\leq M/n<M\epsilon/M=\epsilon$ , když má to supremum vždy vyjít nula. Zmiňuješ $\epsilon>0$ , ale i tak mi to není úplně jasné.

Bati · 23. 10. 2020 15:44 — Editoval Bati (23. 10. 2020 15:45)

1) $0/\infty$ neni neurcity vyraz. Jedine, co se da rict je, ze je nedefinovany, ale v tom pripade ho definuji nulou, protoze tak je to kozistentni se vsim. Stejne tak $x/\infty:=0$ pro vsechny $x\in\mathbb{R}$ .

2) Definice limity ti neco rika?

Uprimne, mas dost mezery v uplnejch zakladech...

2M70 · 23. 10. 2020 15:52

↑ Bati:

Díky za objasnění!

Mezery v základech mám, to uznávám, nepopírám, že nepatřím zrovna mezi nejchytřejší a jsem poněkud "natvrdlý".

Matematické Fórum

#1 22. 10. 2020 22:44

Stejnoměrná konvergence posloupnosti f(x) = 1/n . arctg (x^n)

#2 23. 10. 2020 00:06

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti f(x) = 1/n . arctg (x^n)

#3 23. 10. 2020 14:23

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti f(x) = 1/n . arctg (x^n)

#4 23. 10. 2020 14:55

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti f(x) = 1/n . arctg (x^n)

#5 23. 10. 2020 15:07

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti f(x) = 1/n . arctg (x^n)

#6 23. 10. 2020 15:19

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti f(x) = 1/n . arctg (x^n)

#7 23. 10. 2020 15:28

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti f(x) = 1/n . arctg (x^n)

#8 23. 10. 2020 15:44 — Editoval Bati (23. 10. 2020 15:45)

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti f(x) = 1/n . arctg (x^n)

#9 23. 10. 2020 15:52

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti f(x) = 1/n . arctg (x^n)

Zápatí