Matematické Fórum

duska · 24. 10. 2020 20:02

Ahoj,

potřebovala bych se zeptat, jestli po částech spojitá funkce na $[a, b]$ patří do prostoru $L_2 [a, b]$ . Předem děkuji za ospověď.

Bati · 24. 10. 2020 20:38

Ahoj,
spojitost po castech neni moc prirozeny koncept. Jaka je presna definice?

duska · 24. 10. 2020 21:18

↑ Bati:

Ahoj :) Myslím tím, že má pouze konečně mnoho bodů nespojitosti, ve kterých musí mít konečné jednostranné limity.

Bati · 24. 10. 2020 22:55

↑ duska:
Tak potom je jasne, ze ta funkce musi byt i omezena, ok? A omezene (meritelne) funkce samozrejme patri do L^2.

duska · 24. 10. 2020 23:14

↑ Bati:
Ahoj, moc děkuju. :)

Tajže, jestli tomu dobře rozumím, funkce která je omezená je Lebesgueovsky integrovatelná, navíc pokud je funkce Lebesgueovsky integrovatelná, je Lebesgueovsky integrovatelná i druhá mocnina z její absolutní hodnoty?
Thank! :)
Lída

Bati · 24. 10. 2020 23:45

duska napsal(a):
↑ Bati:
navíc pokud je funkce Lebesgueovsky integrovatelná, je Lebesgueovsky integrovatelná i druhá mocnina z její absolutní hodnoty?

To jsem nerekl (to plati v podstate jen pro posloupnosti). Plati to, ze pokud je funkce $f:\Omega\to\mathbb{R}$ omezena a mira $\Omega$ je konecna, pak $f$ patri do vsech prostoru $L^p(\Omega)$ , $1\leq p\leq\infty$ . V tvem pripade $\Omega=[a,b]$ je uzavreny interval, takze predpokladam, ze je omezeny. Dukaz toho je tak evidentni, ze se mi ho nechce psat. Jinymi slovy to, ze $f$ je omezena, je (temer) ekvivalentni tomu, ze $f\in L^{\infty}(\Omega)$ a $L^{\infty}(\Omega)\subset L^2(\Omega)$ pokud $|\Omega|<\infty$ .