Matematické Fórum

2M70 · 27. 10. 2020 21:58

Mám vyšetřit konvergenci řady funkcí na $\mathbb{R}$ .

Řada: $\sum_{x=0}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^2)^n}$

Přepíšu: $\sum_{x=0}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^2)^n}$ = $x^2\cdot \sum_{x=0}^{\infty }\frac{1}{(1+x^2)^n}$

Vezmu řadu jako geometrickou řadu a použiju součtový vzorec $s_{N}=a_{1}\cdot \frac{1-q^{N}}{1-q}$

Mám
$s_{N}=1\cdot \frac{1-(1+x^2)^n}{1-(1+x^2)}=\frac{1-(1+x^2)^n}{-x^2}$

x^2 se vykrátí:
$x^2\cdot \frac{1-(1+x^2)^n}{-x^2}=(1+x^2)^n-1$

A teď přemýším, jak z toho vyšetřit otázku stejnoměrné konvergence na $\mathbb{R}$ .

Předem díky za radu, nápovědu.

Bati · 27. 10. 2020 22:23

↑ 2M70:
$q=1/(1+x^2)$

Stejnomernou konvergenci udelas stejne jako pro posloupnosti, zde pro posloupnost cast. souctu $s_N$ , takze odhadnout $|s_N-(x^2+1)|$ nezavisle na x

2M70 · 27. 10. 2020 23:23

↑ Bati:

DÍK!

Počítám-li správně,
$q=\frac{1}{1+x^2}$

$x^2\cdot 1\cdot \frac{1-(\frac{1}{1+x^2})^n}{1-\frac{1}{1+x^2}}=x^2\cdot \frac{1-(\frac{1}{1+x^2})^n}{\frac{1+x^2-1}{1+x^2}}=$
$x^2\cdot \frac{1-(\frac{1}{1+x^2})^n}{\frac{x^2}{1+x^2}}=\frac{1-(\frac{1}{1+x^2})^n}{\frac{1}{1+x^2}}=$

$(1+x^2)\cdot 1-(1+x^2)\cdot(\frac{1}{1+x^2})^n=(1+x^2)-\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}$

Tedy
$|s_N-(x^2+1)|=$ $|(1+x^2)-\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}-x^2-1|=$ $\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}$

Zkusím hrubý odhad: (asi to nebude dobře)
$x^2<M<x^2+1$

a
$\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}<\frac{1}{M^{n-1}}<\frac{1}{(x^2)^{n-1}}$

Tím mám
$\lim_{n\to\infty }\frac{1}{M^{n-1}}=0$

a tedy konvergence je stejnoměrná.

Teď jde o to, k čemu jsem vlastně došel - původně jsem měl ukázat, zda řada
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^2)^n}$

konverguje nebo nekonverguje stejnoměrně na $\mathbb{R}$ .

Bati · 27. 10. 2020 23:31

↑ 2M70:
Co je proboha M?

Pro jaky $x$ muze $\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}$ konvergovat k 0?

2M70 · 27. 10. 2020 23:50

↑ Bati:

M jsem si označil jako horní odhad-konstantu, aby to supremum už nezáviselo na x.

K druhé otázce - předpokládal jsem, že $x^2+1>1$ , a když jdu s $n\Rightarrow \infty$ , celkově konverguju k 0.

Bati · 27. 10. 2020 23:55 — Editoval Bati (27. 10. 2020 23:55)

$x^2$ nemuzes odhadnout konstantou na R

$x^2+1>1$ plati teda kdy?

2M70 · 28. 10. 2020 00:02

Bati napsal(a):
$x^2$ nemuzes odhadnout konstantou na R

Snažil jsem se na to "naroubovat" poznatky z předchozích diskuzí.

Bati napsal(a):
$x^2+1>1$ plati teda kdy?

Tím zápisem jsem myslel, že mocnina čísla $>1$ jde do nekonečna, podíl pak k nule.

2M70 · 28. 10. 2020 12:16

Bati napsal(a):
$x^2$ nemuzes odhadnout konstantou na R

Čím tedy mohu shora odhadnout $x^2$ , když ne konstantou?

Bati · 28. 10. 2020 13:39

↑ 2M70:
Treba $x^2$ .. to je ale uplne jedno, protoze ty odhadujes $\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}$ .

2M70 · 28. 10. 2020 13:48

↑ Bati:

Dobře, ale tím $x^2$ si právě znemožňuju určování suprema, když v něm budu mít přítomno "x". Proto jsem se snažil odhadnout to něčím, co nezávisí na "x".

Bati · 28. 10. 2020 14:27 — Editoval Bati (28. 10. 2020 14:27)

↑ 2M70:
ok, muj posledni pokus.. na vsechno zapomen a odpovez na tuhle otazku:

Pro jaky $x\in\mathbb{R}$ vyraz $\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}$ konverguje k nule kdyz $n\to\infty$ ?

2M70 · 28. 10. 2020 14:37

↑ Bati:

Mám-li výraz $\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}$ , zcela určitě nekoverguje k nule, když x=0, potom dostávám 1, tedy nejde k nule.

Výraz $\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}$ by měl konvergovat k nule pro jmenovatel jdoucí do nekonečna, "1/nekonečno" mi jde k nule.

Když jdu s $n\to\infty$ , jde mi jmenovatel do nekonečna, a měl bych tedy získat jako celkový výraz nulu.

Doufám, že jsem nepromarnil poslední šanci.

Bati · 28. 10. 2020 14:53

↑ 2M70:
Uf.. doufam, ze jsi tim chtel rict, ze $x\neq0$ .

V nule tedy $|s_N-(x^2+1)|$ k nule nekonverguje, takze to nejlepsi co muzeme dokazat je, ze $s_N$ koverguje stejnomerne na $(-\infty,-\epsilon)$ a na $(\epsilon,\infty)$ pro $\epsilon>0$ libovolne.

Kdyz tedy $|x|>\epsilon$ , tak jak odhadnes $\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}$ zeshora, aby to nezaviselo na x a konvergovalo k nule?

2M70 · 28. 10. 2020 15:18

Bati napsal(a):
↑ 2M70:
Uf.. doufam, ze jsi tim chtel rict, ze $x\neq0$ .

Ano, souhlasí, x nemůže být nula, tak jsem to myslel.

Bati napsal(a):
↑ 2M70:

V nule tedy $|s_N-(x^2+1)|$ k nule nekonverguje, takze to nejlepsi co muzeme dokazat je, ze $s_N$ koverguje stejnomerne na $(-\infty,-\epsilon)$ a na $(\epsilon,\infty)$ pro $\epsilon>0$ libovolne.

To chápu, pomocí epsilonů "odřízneme" nulu, ve které to nekonverguje k nule.

Bati napsal(a):
↑ 2M70:
Kdyz tedy $|x|>\epsilon$ , tak jak odhadnes $\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}$ zeshora, aby to nezaviselo na x a konvergovalo k nule?

Tady vidím problém - psal jsi, že $x^{2}$ nejde shora odhadnout konstantou. Ale současně to nesmí záviset na x.

Odhad zeshora by tedy měl být takový, abych $1+x^{2}$ nahradil něčím menším - neboť, čím menší číslo mám ve jmenovateli zlomku, tím větší je hodnota výrazu - a potřebuji mít horní odhad.

Bati · 28. 10. 2020 15:23 — Editoval Bati (28. 10. 2020 15:23)

↑ 2M70:
A co treba $1+x^2\geq 1+\epsilon^2$ ?

A proc te porad trapi, ze nemuzes odhadnout $x^2$ konstantou??? Pripada ti snad parabola jako omezena funkce??

2M70 · 28. 10. 2020 15:31

Bati napsal(a):
↑ 2M70:
A co treba $1+x^2\geq 1+\epsilon^2$ ?

Díky, to je super!

Bati napsal(a):
↑ 2M70:
A proc te porad trapi, ze nemuzes odhadnout $x^2$ konstantou??? Pripada ti snad parabola jako omezena funkce??

Trápí mě to proto, že se mi vyskytuje ve výrazech, kde ho, pro výpočet suprema, potřebuji odhadnout "něčím větším". Musím se přiznat, že mě nenapadlo, že x^2 je vlastně parabola, tedy neomezená funkce.

2M70 · 28. 10. 2020 21:32

Tak tedy dotaženo do konce:

$|s_N-(x^2+1)|=$ $\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}$ $\le \frac{1}{(1+\varepsilon ^2)^{n-1}}$

$\lim_{n\to\infty } \frac{1}{(1+\varepsilon ^2)^{n-1}}=0$
$0<\varepsilon <|x|$

Výsledek:

Řada $\sum_{x=0}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^2)^n}$
je stejnoměrně konvergentní na
$(-\infty ,\varepsilon )\cup (\varepsilon ,\infty ), \varepsilon >0$

Bati · 28. 10. 2020 22:15

↑ 2M70:
No slava:)

2M70 · 28. 10. 2020 22:17

↑ Bati:

DÍKY !!!

Matematické Fórum

#1 27. 10. 2020 21:58

Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#2 27. 10. 2020 22:23

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#3 27. 10. 2020 23:23

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#4 27. 10. 2020 23:31

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#5 27. 10. 2020 23:50

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#6 27. 10. 2020 23:55 — Editoval Bati (27. 10. 2020 23:55)

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#7 28. 10. 2020 00:02

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

Bati napsal(a):

Bati napsal(a):

#8 28. 10. 2020 12:16

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

Bati napsal(a):

#9 28. 10. 2020 13:39

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#10 28. 10. 2020 13:48

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#11 28. 10. 2020 14:27 — Editoval Bati (28. 10. 2020 14:27)

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#12 28. 10. 2020 14:37

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#13 28. 10. 2020 14:53

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#14 28. 10. 2020 15:18

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

Bati napsal(a):

Bati napsal(a):

Bati napsal(a):

#15 28. 10. 2020 15:23 — Editoval Bati (28. 10. 2020 15:23)

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#16 28. 10. 2020 15:31

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

Bati napsal(a):

Bati napsal(a):

#17 28. 10. 2020 21:32

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#18 28. 10. 2020 22:15

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

#19 28. 10. 2020 22:17

Re: Řada funkcí pomocí geometrické posloupnosti

Zápatí