Matematické Fórum

2M70 · 27. 10. 2020 20:35

Mám 2 řady funkcí
$\sum_{n=1}^{\infty }x^{2}e^{-n^{2}x^{2}}$
a
$\sum_{n=1}^{\infty }xe^{-n^{2}x^{2}}$

Mám vyšetřit konvergenci na $[0,\infty )$

Nutná podmínka konvergence: konvergence posloupnosti, tedy
$f_{n}=x^2e^{-n^{2}x^{2}}$ resp. $f_{n}=xe^{-n^{2}x^{2}}$

Nejprve pro $f_{n}=x^2e^{-n^{2}x^{2}}$

x = 0 ... celá posloupnost je 0

x > 0 ...libovolné pevné... $\lim_{n\to\infty }x^2e^{-n^{2}x^{2}}=\lim_{n\to\infty }\frac{x^2}{e^{n^{2}x^{2}}}$

$\lim_{n\to\infty }x^2e^{-n^{2}x^{2}}=\lim_{n\to\infty }\frac{x^2}{e^{n^{2}x^{2}}}=\lim_{n\to\infty }\frac{x^2}{(e^{x^{2}})^{n^{2}}}=0$

Stejnoměrná konvergence

$|\frac{x^2}{e^{x^{2}n^{2}}}-0|=|\frac{x^2}{e^{x^{2}n^{2}}}|=\frac{x^2}{e^{x^{2}n^{2}}}$

Nyní musíme určit / odhadnout supremum výrazu $\frac{x^2}{e^{x^{2}n^{2}}}$ .

Můžu zkusit horní odhad $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}n^{2}}}$

Zavedu konstantu "K" $K=e^{x^{2}}$ , $e^{x^{2}}<K<\infty$ , tedy

sup = $\frac{K}{K^{n^{2}}}$ , $\lim_{n\to\infty }\frac{K}{K^{n^{2}}}=0$

Mám tedy stejnoměrnou konvergenci, tedy i nutnou podmínku konvergence řady $\sum_{n=1}^{\infty }x^{2}e^{-n^{2}x^{2}}$ .

Nyní řada $\sum_{n=1}^{\infty }xe^{-n^{2}x^{2}}$ .

Podobně jako u první řady,

nutná podmínka konvergence:

bodová konvergence: $\lim_{n\to\infty }xe^{-n^{2}x^{2}}=\lim_{n\to\infty }\frac{x}{e^{n^{2}x^{2}}}=\lim_{n\to\infty }\frac{x}{(e^{x^{2}})^{n^{2}}}=0$

Stejnoměrná konvergence

$|\frac{x}{e^{x^{2}n^{2}}}-0|=|\frac{x}{e^{x^{2}n^{2}}}|=\frac{x}{e^{x^{2}n^{2}}}$

Platí $\frac{x}{e^{x^{2}n^{2}}} < \frac{x^2}{e^{x^{2}n^{2}}}$

Protože o posloupnosti napravo již víme, že je stejnoměrně konvergentní, je stejnoměrně konvergentní i posloupnost vlevo.

Nutná podmínka konvergence je tedy splněna i pro druhou řadu, $\sum_{n=1}^{\infty }xe^{-n^{2}x^{2}}$

Nyní je však potřeba konvergenci dokázat.

Weierstrass - musela by se pro obě řady najít konvergentní majoranta

Abel/Dirichlet - zde by se za stejnoměrně konvergující posloupnost v jejich součinu vybrala

$exp(-n^2x^2)=\frac{1}{exp(n^2x^2)}$

Tato posloupnost, na intervalu $[0,\infty )$ je klesající, v 0 má maximum a monotonně klesá k nule.
Tím bych tedy měl stejnoměrně konvergentní posloupnost.

Zato se mi asi nepodaří ani pro jedno kritérium najít druhou řadu v součinu,
u Dirichleta má být její řada stejnoměrně omezená na intervalu $[0,\infty )$ , což asi ani $x$ , ani $x^2$ nesplňuje,

u Abela by sice vyhovovala monotonnost $x$ , $x^2$ , ale asi nejsou stejně stejnoměrně omezené.

Asi tedy pomůže jen Weierstrass a nějaká konvergentní majoranta.

krakonoš · 28. 10. 2020 11:03

Využila bych $e^{n^{2}x^{2}}>n^2 x^2$

2M70 · 28. 10. 2020 12:11

krakonoš napsal(a):
Využila bych $e^{n^{2}x^{2}}>n^2 x^2$

Ve které části výpočtu bys to uplatnila?

krakonoš

↑ 2M70:
$\frac{x^{2}}{e^{n^{2}x^{2}}}<\frac{x^{2}}{n^{2}x^{2}}$
To by mělo zajistit stejnoměrnou konvergenci na intervalech [epsilon;nekonečno) pro epsilon>0.Aspoň pro tyto intervaly by to mělo fungovat díky konvergenci číselné majoranty.

2M70 · 28. 10. 2020 12:35

↑ krakonoš:

To vypadá nadějně, zvlášť po editaci.

Teď jde o to, jak shora ohraničit posloupnost, aby tam nefigurovalo "x". Tedy "nejhorší možný odhad". Jak jsem byl poučen, x^2 nelze shora ohraničit konstantou.

krakonoš

↑ 2M70:
Každopádně co se týče té druhé řady, tam lze uvažovat jen o stejnoměrné konvergenci na intervalech [epsilon;nekonečno) protože pro x=1/n mi příjde, že nebude splněna Bolzano -Cauchyho podmínka pro stejnoměrnou konvergenci řad, je tam nesplnění této podmínky při počtu sčítanců n.

Asi má tedy smysl uvažovat o stejnoměrné konvergenci pro intervaly [epsilon; nekonečno), kde epsilon>0 je pevné číslo.Pokud jsem se někde nespletla při výpočtu.

2M70 · 28. 10. 2020 13:30

BC podmínka stejnoměrné konvergence řad:

$\sum_{}^{}f_{n}$ konverguje stejnoměrně v M (neplést s vedlejším příspěvkem),

$(\forall \varepsilon >0)( \exists n_{0})(\forall n\ge n_{0})(\forall p\in \mathbb{N)}(\forall z\in M)$

$|\sum_{k=n+1}^{n+p}f_{k}(z)|<\varepsilon$

Tolik teorie.

Nevím ale, jak pokračovat dál.

krakonoš · 28. 10. 2020 13:32

↑ 2M70:
Viz muj komentar výš

2M70 · 28. 10. 2020 15:02

Nápad:

Vezmu celou řadu funkcí, resp. posloupnost částečných součtů.

Pro první řadu $\sum_{n=1}^{\infty }x^{2}e^{-n^{2}x^{2}}$ dostávám - z nulové 1.derivace - $x=\frac{1}{n}$ , hodnota v tomto bodě $\frac{n^{2}}{e}$

Druhá řada: $\sum_{n=1}^{\infty }xe^{-n^{2}x^{2}}$ - dostávám $x=\frac{1}{n\cdot \sqrt{2}}$ a hodnotu $\frac{exp(-n^{2})}{4n^{4}}$

Tedy číselná posloupnost v prvním přípaadě $a_{n}=\frac{n^{2}}{e}$

a ve druhém případě $a_{n}=\frac{exp(-n^{2})}{4n^{4}}$

Řadat $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}}{e}$ by měla divergovat,
druhá řada $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{exp(-n^{2})}{4n^{4}}$ by měla konvergovat. Zatím nevím, které kritérium je na vyšetření kovergence nejúčinnější, zatím jsem "hádal" podle exponentu "n".

krakonoš

↑ 2M70:
$\frac{x^2\cdot n^{2}}{e^{n^2 x^2}}\cdot \frac{1}{n^{2}}$
U prvního příkladu by šlo použít že první zlomek
je menší než jedna a pak máme konvergentní majorantu 1/nnadruhou.
A ten druhý příklad stejnoměrně funguje jen na intervalu [epsilon, nekonečno), kde epsilon>0

2M70 · 28. 10. 2020 15:49

↑ krakonoš:

Díky, to vypadá zajímavě.

2M70 · 28. 10. 2020 21:18

Omyl, všechno špatně, přepočítával jsem to a správné výsledky jsou:

$\sum_{n=1}^{\infty }x^{2}e^{-n^{2}x^{2}}$
maximum: $x=\frac{1}{n}$ ,
hodnota $\frac{1}{n^{2}e}$
$a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}e}$ konvergentní

$\sum_{n=1}^{\infty }xe^{-n^{2}x^{2}}$
maximum: $x=\frac{1}{n\cdot \sqrt{2}}$
hodnota: $\frac{1}{n\cdot \sqrt{2e}}$
$a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot \sqrt{2e}}=\frac{1}{\sqrt{2e}}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$
Řada je harmonická, Weierstrassovo kritérium selhává, je třeba zvolit jinou metodu.

2M70 · 28. 10. 2020 21:51

Napadlo mě modifikovat metodu ↑ krakonoš::

$\frac{x}{e^{x^2n^2}}=\frac{x\cdot n^2}{e^{x^2n^2}}\cdot \frac{1}{n^2}<\frac{1}{n^2}$

Zlomek $\frac{x\cdot n^2}{e^{x^2n^2}}<1$ , je menší než jedna, mám tak konvergentní majorantu $\frac{1}{n^2}$

Řada $\sum_{n=1}^{\infty }xe^{-n^{2}x^{2}}$ je stejnoměrně konvergentní,

jen mi není jasné, zda na intervalu $[0,\infty)$ , $(0,\infty)$ nebo $[\varepsilon ,\infty)$ , $\varepsilon>0$

krakonoš · 28. 10. 2020 23:15

↑ 2M70:
Zlomek $\frac{x\cdot n^2}{e^{x^2n^2}}<1$ , je menší než jedna
To neplatí např pro x=1/n. U předchozího příkladu to platilo, protože se porovnával argument s argumentem exponenciely čili něco jako y/ exp y

2M70 · 28. 10. 2020 23:23

↑ krakonoš:

Máš pravdu, to mi nedošlo. Tak budu přemýšlet o lepším odhadu.

2M70 · 29. 10. 2020 17:17

Nějak na nic nemůžu přijít. Neměl by, prosím, někdo nápovědu?

Matematické Fórum

#1 27. 10. 2020 20:35

Dvě řady funkcí

#2 28. 10. 2020 11:03

Re: Dvě řady funkcí

#3 28. 10. 2020 12:11

Re: Dvě řady funkcí

krakonoš napsal(a):

#4 28. 10. 2020 12:17 — Editoval krakonoš (28. 10. 2020 12:27)

Re: Dvě řady funkcí

#5 28. 10. 2020 12:35

Re: Dvě řady funkcí

#6 28. 10. 2020 13:00 — Editoval krakonoš (28. 10. 2020 14:04)

Re: Dvě řady funkcí

#7 28. 10. 2020 13:30

Re: Dvě řady funkcí

#8 28. 10. 2020 13:32

Re: Dvě řady funkcí

#9 28. 10. 2020 15:02

Re: Dvě řady funkcí

#10 28. 10. 2020 15:45 — Editoval krakonoš (28. 10. 2020 15:47)

Re: Dvě řady funkcí

#11 28. 10. 2020 15:49

Re: Dvě řady funkcí

#12 28. 10. 2020 21:18

Re: Dvě řady funkcí

#13 28. 10. 2020 21:51

Re: Dvě řady funkcí

#14 28. 10. 2020 23:15

Re: Dvě řady funkcí

#15 28. 10. 2020 23:23

Re: Dvě řady funkcí

#16 29. 10. 2020 17:17

Re: Dvě řady funkcí

Zápatí