Matematické Fórum

david_svec · 31. 10. 2020 12:58 — Editoval jelena (31. 10. 2020 13:06)

Zdravím,

při počítání limit jsem narazil na příklad: [mathjax]\lim_{n\to\infty} \frac{(n^{2}+1)^{100}-(n+1)^{200}}{(n^{8}+2)^{25}-(n^{4}+1)^{50}}\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{n^{12}+2n^{11}+1}-\sqrt[3]{n^{12}+n^{11}+1}}[/mathjax].

Problém mi dělá ta levá část. Nějak mě nenapadá, jak bych co nejefektivněji upravil ty závorky s vysokými mocninami.

Děkuji za nápady. :-)

surovec

↑ david_svec:
Tak členy na dvoustou se vyruší. V čitateli je další nejvyšší stupeň n^199, ve jmenovateli n^196. Takže ta levá část jde dost z ostra k $\infty$ ...
Jinak řečeno z čitatele i jmenovatele vytkni n^196...
V součinu s tím druhým zlomkem to už je zajímavější a je potřeba to brát jako celek (výsledek je 12)...

david_svec · 31. 10. 2020 15:17

↑ surovec:

Díky za pomoc :-)

david_svec · 31. 10. 2020 16:16

↑ surovec:

Mohl bych se zeptat, jak jsi k tomu vlastně došel? Nevím jak správně upravit ty odmocniny, aby mi to nějak rozumně vycházelo.. Díky

surovec

↑ david_svec:
Myslel jsem, že s odmocninami si víš rady... No asi takhle (využije se rozšíření na vzoreček A^3 – B^3):
$=\lim_{n\to\infty} \frac{(n^{200}+\binom{100}{1}n^{98}...)-(n^{200}+\binom{200}{1}n^{99})}{(n^{200}+\binom{25}{1}n^{192}+...)-(n^{200}+\binom{50}{1}n^{196}+...)}\cdot\\ \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{n^{12}+2n^{11}+1}-\sqrt[3]{n^{12}+n^{11}+1}}\cdot\\ \cdot \frac{{\sqrt[3]{n^{12}+2n^{11}+1}}^2+{\sqrt[3]{n^{12}+2n^{11}+1}}{\sqrt[3]{n^{12}+n^{11}+1}}+{\sqrt[3]{n^{12}+n^{11}+1}}^2}{{\sqrt[3]{n^{12}+2n^{11}+1}}^2+{\sqrt[3]{n^{12}+2n^{11}+1}}{\sqrt[3]{n^{12}+n^{11}+1}}+{\sqrt[3]{n^{12}+n^{11}+1}}^2}=$
$=\lim_{n\to\infty} \frac{-200n^{199}+...}{-50n^{196}+...}\cdot \frac{3n^8+...}{n^{11}}=\lim_{n\to\infty} \frac{4n^{3}}{1} \cdot \frac{3}{n^{3}}=12$

david_svec · 31. 10. 2020 20:16

↑ surovec:

Jj, super díky, už vidím chybu, místo $\sqrt[3]{n^{12}+2n^{11}+1}$ jsem psal $\sqrt[3]{n^{2}+2n^{11}+1}$ ...
Opravdu blbá chyba, to se není čemu divit, že to nevychází vůbec hezky.. ještě jednou díky :-)

Matematické Fórum

#1 31. 10. 2020 12:58 — Editoval jelena (31. 10. 2020 13:06)

Úprava výrazu - limita posloupnosti

#2 31. 10. 2020 14:24 — Editoval surovec (31. 10. 2020 15:05)

Re: Úprava výrazu - limita posloupnosti

#3 31. 10. 2020 15:17

Re: Úprava výrazu - limita posloupnosti

#4 31. 10. 2020 16:16

Re: Úprava výrazu - limita posloupnosti

#5 31. 10. 2020 20:05 — Editoval surovec (31. 10. 2020 20:07)

Re: Úprava výrazu - limita posloupnosti

#6 31. 10. 2020 20:16

Re: Úprava výrazu - limita posloupnosti

Zápatí