Matematické Fórum

2M70 · 23. 11. 2020 23:05

Mám integrál

$\int_{0}^{\pi }\frac{ln(1+a\cdot cos(x))}{cos(x)}dx, |a|<1$

už vyřešený, ale nevím si moc rady s ověřením předpokladů záměny derivace a integrálu (derivací podle parametru).

1. předpoklad - měřitelnost funkce - integrand je složením spojitých funkcí, funkce by měla být i měřitelná

2. předpoklad - derivace podle parametru "a" konečná, tedy $\frac{\partial F}{\partial a}=\frac{1}{1+a.cos(x)}$ , bod $\frac{\pi }{2}$ "ošetřený" -
$\lim_{x\to\frac{\pi }{2}}\frac{ln(1+a\cdot cos(x))}{cos (x)}=\lim_{z\to0}\frac{ln(1+az)}{z}=a$

3. předpoklad - integrovatelná majoranta - odhaduji
$|\frac{1}{1+a\cdot cos(x)}|\le |\frac{1}{1+a}|$ , ale je to asi špatně

4. předpoklad - integrovatelnost podle aspoň jednoho "a"
Kdybych v integrálu zvolil a = 0, dostal bych ln (1+0.cos x) = ln 1 = 0, tedy celý integrál =0, tedy konečný. Ale předpokládám, že to je určitě špatně.

Může někdo potvrdit, vyvrátit nebo doplnit tyto úvahy?
Předem díky.

laszky · 23. 11. 2020 23:57

↑ 2M70:

Ahoj, nevim jak ostatni veci, ale

$\frac{1}{1+a\cdot \cos(x)}\le \frac{1}{1-|a|}$

Brano · 24. 11. 2020 12:05

s doplnenim od ↑ laszky: uz mas vsetko co potrbujes, len este trba taky trik v uvahe
nebudes to riesit pre $a\in (-1,1)$ ale pre $a\in[-r,r]$ pre nejake fixovane $r<1$ potom
$\frac{1}{1+a\cdot \cos(x)}\le \frac{1}{1-|a|}\le \frac{1}{1-r}$ a potom si uvedomis, ze to $r$ mohlo byt lubovolne, takze to funguje aj na $(-1,1)$

vanok · 24. 11. 2020 12:47

Poznamka.
Toto sa oplati citat https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule
a tu mas nieco podobne o zamene limit a sum (ako aplikaciu) https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_ … ce_theorem .

2M70 · 24. 11. 2020 13:16

Ještě jsem nevyřešil předpoklad (4):

4. předpoklad - integrovatelnost podle aspoň jednoho "a"
Kdybych v integrálu zvolil a = 0, dostal bych ln (1+0.cos x) = ln 1 = 0, tedy celý integrál =0, tedy konečný. Ale předpokládám, že to je určitě špatně.

Brano · 24. 11. 2020 22:06

↑ 2M70:
zle predpokladas, je to presne tak ako tam pises :)

2M70 · 24. 11. 2020 22:10

↑ Brano:

Takže volím takovou hodnotu parametru, abych dostal něco, co je evidentně integrovatelné?

krakonoš · 25. 11. 2020 14:04

Spoléhala jsem se na to, že je zde uvedeno aspoň správné znění věty, tj předpoklady 1-4. Tak jsem včera postupovala podle těchto předpokladů, znění věty si po třiceti letech pochopitelně už přesně nepamatuji. Nemá zde být ale náhodou integrovatelná majoranta nezávislá na parametru, nikoli na x????

2M70 · 25. 11. 2020 14:08

↑ krakonoš:

Máš pravdu, integrovatelná majoranta nesmí záviset na parametru, podle kterého derivujeme/integrujeme. To mi ovšem nasazuje nového brouka do hlavy, jak tu majorantu udělat.

2M70 · 25. 11. 2020 21:51

Brano napsal(a):
s doplnenim od ↑ laszky: uz mas vsetko co potrbujes, len este trba taky trik v uvahe
nebudes to riesit pre $a\in (-1,1)$ ale pre $a\in[-r,r]$ pre nejake fixovane $r<1$ potom
$\frac{1}{1+a\cdot \cos(x)}\le \frac{1}{1-|a|}\le \frac{1}{1-r}$ a potom si uvedomis, ze to $r$ mohlo byt lubovolne, takze to funguje aj na $(-1,1)$

Omlouvám se, neuvědomil jsem si, že jsi již v diskuzi odpověděl.

Ještě mě k Tvému řešení napadá (hloupá) otázka: platí $r<1$ nebo přímo $0<r<1$ ?

Matematické Fórum

#1 23. 11. 2020 23:05

Záměna derivace a integrálu - ověření předpokladů

#2 23. 11. 2020 23:57

Re: Záměna derivace a integrálu - ověření předpokladů

#3 24. 11. 2020 12:05

Re: Záměna derivace a integrálu - ověření předpokladů

#4 24. 11. 2020 12:47

Re: Záměna derivace a integrálu - ověření předpokladů

#5 24. 11. 2020 13:16

Re: Záměna derivace a integrálu - ověření předpokladů

#6 24. 11. 2020 22:06

Re: Záměna derivace a integrálu - ověření předpokladů

#7 24. 11. 2020 22:10

Re: Záměna derivace a integrálu - ověření předpokladů

#8 25. 11. 2020 14:04

Re: Záměna derivace a integrálu - ověření předpokladů

#9 25. 11. 2020 14:08

Re: Záměna derivace a integrálu - ověření předpokladů

#10 25. 11. 2020 21:51

Re: Záměna derivace a integrálu - ověření předpokladů

Brano napsal(a):

Zápatí