Matematické Fórum

2M70 · 20. 12. 2020 23:58

Ahoj,

řeším úlohu na soustavu dvou spojek a nevede to k cíli.

Za předpokladů konvence

- světlo jde zleva
- ohnisková vzdálenost "f" vlevo od čočky (proti směru paprsků) záporná, "f' " vpravo od čočky (ve směru chodu paprsků) kladná
- předmětová vzdálenost "a" vlevo od čočky (proti směru paprsků) záporná, obrazová vzdálenost "a' " vpravo od čočky (ve směru chodu paprsků) kladná

mám příklad

- soustava 2 ploskovypuklých čoček = spojek, s poloměry křivosti R1 = 5 cm, R2 = 7,5 cm, ze skla o indexu lomu 1,5, ve vzdálenosti 5 cm od sebe, zobrazují předmět ležící 30 cm před první čočkou, podle konvence tedy a1 = -30 cm.
- má se určit
a) obraz předmětu a2' vzhledem k druhé čočce
b) celkové zvětšení
c) celková ohnisková vzdálenost soustavy.

Vztah pro výpočet ohniskové vzdálenosti čoček

$\frac{1}{f'}=(n_{2}-1)\cdot (\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}})$

kde $R_{2}\Rightarrow \infty$ - čočka je ploskovypuklá
n = 1,5 index lomu skla

dává ohniskové vzdálenosti
f1 = -10 cm resp. f1' = 10 cm
f2 = - 15 cm resp. f2' = 15 cm

což dává - vzhledem ke vzdálenosti čoček 5 cm -
- předmětové ohnisko F1 10 cm vlevo od 1.čočky
- obrazové ohnisko F1' 5 cm vpravo od 2.čočky
- předmětové ohnisko F2 15 cm vpravo od 2.čočky
ale : obrazové ohnisko F2' vychází 10 cm vlevo od 1.čočky, tedy v předmětovém ohnisku F1!!!!
Je to možné?

dále:

použití Gaussova vztahu

$\frac{f'}{a'}+\frac{f}{a}=1$

dává polohu obrazu a1' = 15 cm, tedy 10 cm vpravo od 2.čočky,

další použití vztahu dává

f1' / a2' = 1 - (f2/a2) = 1 - (-0,15/-0,10) = 1 - 1,5 = - 0,5,
kde f2' = 0,15 m

a tedy
a2' = - 2 f' = - 0,30 m = 30 cm,
výsledný obraz by tedy měl být 30 cm vlevo před druhou (pravou) čočkou, resp. 25 cm vlevo před první (llevou) čočkou - je to správně?

Celkové zvětšení - tady bych asi měl použít 2. Gausssův vzorec

$\frac{y'}{y}=\frac{a'}{a}$

ale přemýšlím, které hodnoty do něj dosadit.

Má vyjít hodnota: z=-0,3

Celková ohnisková vzdálenost soustavy - tady se nabízí vztahy

$f=+\frac{f_{1}f_{2}}{\Delta }$ resp. $f'=-\frac{f'_{1}f'_{2}}{\Delta }$

ale nevím, jak ze zadaných hodnot určit hodnotu $\Delta$ .

Má vyjít hodnota f = 7,5 cm

Můžu poprosit o pomoc?

Hlavní problémy jsou
- zdůvodnit, že obrazové ohnisko F2' leží v předmětovém ohnisku F1 (je to vůbec možné?)
- výpočet celkového zvětšení
- zjistit hodnotu $\Delta$ a z něj celkovou ohniskovou vzdálenost soustavy.

Předem díky za pomoc!

Jj · 21. 12. 2020 08:19

↑ 2M70:

Hezký den.

Řekl bych, že podle konvence, kterou podrobně popisujete, bude obrazové ohnisko druhé spojky rovněž vpravo od ní. Podle popisu soustavy jsou snad soumístná předmětová ohniska obou čoček?

2M70 · 21. 12. 2020 11:38

↑ Jj:

Dobrý den,

takže napravo od 2.čočky

- obrazové ohnisko F2 15 cm vpravo od 2.čočky
ale :předmětové ohnisko F2' vychází 10 cm vlevo od 1.čočky, tedy v předmětovém ohnisku F1!!!!

Je to možné? To splývání ohnisek se mi vůbec nezdá :-(

Jinak, pořád mi není jasný výpočet celkového zvětšení (z = (-0,3)) a členu $\Delta$ ve vztahu pro celkovou ohniskovou vzdálenost :-(

Mirek2 · 21. 12. 2020 13:11

↑ 2M70:
Vzpomínám si, že optický interval [mathjax]\Delta[/mathjax] je vzdálenost předmětového ohniska [mathjax]F_2[/mathjax] druhé soustavy od obrazového ohniska [mathjax]F_1'[/mathjax] první soustavy.

2M70 · 21. 12. 2020 14:02

↑ Mirek2:

Pominu-li podivný fakt, že předmětové ohnisko F1 (10 cm před 1.čočkou) a předmětové ohnisko F2 (15 cm před 2.čočkou) splývají (může to vůbec nastat?),

a uvažuji obrazové ohnisko F1‘, 10 cm za 1.čočkou, resp. 5 cm za 2.čočkou,
a vzdálenost čoček d = 5 cm,

pak dostávám Δ = 5 cm (od F1‘ k 2.čočce) + 5 cm (vzdálenost čoček) + 10 cm (od 1.čočky k F2 (= F1))= 20 cm = 0,20 m

Pak dostávám ze vztahu

$f=+\frac{f_{1}f_{2}}{\Delta }$

Celkovou ohniskovou vzdálenost soustavy

$f=+\frac{(-0,10)\cdot (-0,15)}{0,20}m=0,075m=7,5 cm$

Tedy f = 7,5 cm,

Což souhlasí s výsledkem.

2M70 · 21. 12. 2020 17:14

Zkusil jsem spočítat polohu obrazu,

po dosazení do vztahu

$\frac{f'}{a'}+\frac{f}{a}=1$

f = -0,15 m, f' = 0,15 m, a = + 0,10 m

jsem dostal a' = + 6 cm

ale nevím, zda leží nalevo, nebo napravo od 2.čočky.

Zkusi jsem spočítat zvětšení,

$Z=-\frac{f}{a-f}$

první čočka

$Z_{1}=-\frac{-0,10}{-0,30-(-0,10)}=-0,5$

druhá čočka

$Z_{2}=-\frac{-0,15}{0,10-(-0,15)}=0,6$

Celkové zvětšení = (-0,5) . 0,6 = -0,3

Což souhlasí s výsledkem, ale nejsem si vůbec jistý správností znamének.

Matematické Fórum

#1 20. 12. 2020 23:58

Optika - soustava dvou spojek

#2 21. 12. 2020 08:19

Re: Optika - soustava dvou spojek

#3 21. 12. 2020 11:38

Re: Optika - soustava dvou spojek

#4 21. 12. 2020 13:11

Re: Optika - soustava dvou spojek

#5 21. 12. 2020 14:02

Re: Optika - soustava dvou spojek

#6 21. 12. 2020 17:14

Re: Optika - soustava dvou spojek

Zápatí