Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 11. 2020 10:47 — Editoval vanok (13. 11. 2020 12:21)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

Pozdravujem,
Tu dame do popredia prakticke metody, ktore je uzitocne vediet.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 14. 11. 2020 04:04 — Editoval vanok (14. 11. 2020 18:57)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

Nech je dana funkcia f realnej premennej, o ktorej chceme vediet ci existuje mocninovy rad $\sum a_n x_n$ ktoreho polomer konvergencie je R (= nenulove realne cislo) a $\forall x \in ]-R;R[, f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$

Poznamka: tu ide o rad centrovany v pociatku 0 (a na tuto situaciu, sa mozme vzdy dostat, lebo povieme, ze funkcia f je rovzvinutelne na mocninovy rad v otvorenom intervale stredu v bode  a, ak funkcia $g:x\mapsto f(x+a)$ je rozvinutelna na mocninovy rad  v bode 0$ ).
Tiez, tu bude rozlisovany tento pojem s limitivanym rozvojom funkcie f.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 14. 11. 2020 12:36

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

Já nějak nerozumím těm závorkám...

Offline

 

#4 14. 11. 2020 13:22

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

Ahoj ↑ MichalAld:,
Pouzivam, oznacenia ako tu .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 04. 12. 2020 22:44 — Editoval vanok (04. 12. 2020 22:49)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

Teraz tu popisem bezne pouzivane metody, tykajuce sa specialnych situacii.

1) pripad, ked mame somacny vzorec. 
To je pripad aj geometrickeho radu. 
Vieme , ze pre [mathjax]x[/mathjax] take, ze [mathjax]x\ne 1[/mathjax] mame tento vzorec :

[mathjax]1+x +x^2+ ... +x^n=\frac {1-x^{n+1}}{1-x}[/mathjax]

Tak ak [mathjax]x[/mathjax] je take, ze [mathjax]|x| \lt 1[/mathjax] rad [mathjax]\sum_{n\ge 0}^{}x^n[/mathjax] konverguje k [mathjax]\frac 1{1-x} [/mathjax].

A pre [mathjax]x[/mathjax] take, ze [mathjax]|x|> 1[/mathjax] rad diverguje ( co tiez dokazuje, rad   [mathjax]\sum_{n\ge 0}^{}x^n[/mathjax]  ma polomer konvergencie R=1)
Co piseme [mathjax] \frac 1{1-x}= 1+x +x^2+ ... +x^n+...       R=1[/mathjax]


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 04. 12. 2020 23:30

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

Mmch, je to vždycky tak, že ten poloměr konvergence je poloměr, tj stejný pro kladné i záporné hodnoty?

Offline

 

#7 04. 12. 2020 23:47 — Editoval vanok (04. 12. 2020 23:48)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

↑ MichalAld:,
Ano. Tu budem davat priklady na tie najzaujimavejsie situacie. 

Co sa tyka #5, skutocne je to tak... vsak  tam ide o geometricky rad.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 05. 12. 2020 00:23

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

Už teď se těším na pokračování...

Offline

 

#9 05. 12. 2020 11:36

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

Pozdravujem ↑ MichalAld:,
Tu v pripade 2) dam priklady rozvojov realnych funkcii na mocninove rady,  ktore daju nast vdaka Taylor-ovej teoreme.  (Iste, kazdy co pouziva tuto metodu, dobre vie co sa od takych funnkciii vyzaduje).
Tak len niekolko prikladov.
a) [mathjax]e^x=1+\frac x{1!}+ \frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+...   R=+\infty[/mathjax]
( ak niekomu treba podrobny popis ako sa k tomu pride,  tak to tu pridam)

Analogicky mame rozzvoje pre [mathjax]\sin (x), \cos (x),  sh( x), ch(x) ...[/mathjax].... atd.    ( doplnte ....)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 05. 12. 2020 11:38 — Editoval vanok (30. 05. 2021 23:24)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

Pripad 3), tu pojde o pouzitie derivacie.
Dam tu priklady ako pouzit vysledok z 1)

Mame [mathjax] \frac 1{1-x}= 1+x +x^2+ ... +x^n+...       R=1[/mathjax]

Co da [mathjax] \frac 1{(1-x)^2}= 1+2x +3x^2+ ... (n+1)x^n+...       R=1[/mathjax]

A aj [mathjax] \frac 1{(1-x)^3}= .......       R=1[/mathjax] ( doplnit)

Poroznyslajte aka teorema sa tu pouziva.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#11 05. 12. 2020 20:27

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

Pripad 4), pouzitie integracie.
Tu dam zasa len jednoduche  priklady, kde sa vyuzije aj vysledok situacie 1). 


Tento vysledok [mathjax] \frac 1{1-x}= 1+x +x^2+ ... +x^n+...       R=1[/mathjax]

da [mathjax] \frac 1{1+x}= 1-x +x^2+ ... +(-1)^nx^n+...       R=1[/mathjax]

A vdaka integracii ( podla akej teoremy?) dostaneme

[mathjax]\ln (1+x)=....[/mathjax]

[mathjax]\ln (1-x)=....[/mathjax].       (doplnte)

Tiez vdaka 1) lahko mame

[mathjax] \frac 1{1-x^2}= ...[/mathjax]

[mathjax] \frac 1{1+x^2}= ...[/mathjax] (doplnte)

A co da intégracia poslednych dvoch rozvojov?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#12 05. 12. 2020 20:30 — Editoval vanok (14. 01. 2021 12:31)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

Pripad 5). 
Tu bude troska podrobnejsie ukazany priklad, ako sa daju pouzit vhodne funkcionalne relacie. 

Nech [mathjax]\alpha \in \Bbb R[/mathjax] a [mathjax]f:]-1;+\infty[\to \Bbb R, x \mapsto (1+x)^{\alpha }[/mathjax].
Lahko ukazeme, ze pre [mathjax]x \in ]-1;+\infty[[/mathjax] mame: [mathjax](1+x)f’(x)-\alpha f(x)=0[/mathjax] (*)
Predpokladajme, ze  v okoli 0 mame: [mathjax]f(x)=a_0+a_1 x+...+a_nx^n+...[/mathjax]

Co plati o koeficientoch [mathjax]a_n[/mathjax]?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 06. 12. 2020 20:53

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

vanok napsal(a):

Mame [mathjax] \frac 1{1-x}= 1+x +x^2+ ... +x^n+...       R=1[/mathjax]

Co da [mathjax] \frac 1{(1-x)^2}= 1+2x +3x^2+ ... (n+1)+x^n+...       R=1[/mathjax]

A aj [mathjax] \frac 1{(1-x)^3}= .......       R=1[/mathjax] ( doplnit)

Tak už jsem to pochopil....


[mathjax]  \frac d{dx} \frac 1{1-x} = \frac 1{(1-x)^2}[/mathjax]


[mathjax]  \frac d{dx} \frac 1{(1-x)^2} = \frac 2{(1-x)^3} = 1 \cdot 2 + 2\cdot 3 x + 3 \cdot 4 x^2 + ...[/mathjax]

Offline

 

#14 14. 01. 2021 12:57 — Editoval vanok (15. 01. 2021 09:23)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Rozvoj realne funkcie na mocninovy rad

Pozdravujem ↑ MichalAld:,
Ano,dobre si vyuzil naznaceny postup.
Analogicky to moze kazdy urobit v podobnych situaciach.

Ça sa tyka #12 ↑ vanok:, tak predpoklad, ze
[mathjax]f(x)=a_0+a_1x+...+a_ n x^n+...[/mathjax]  v okoli 0, nam da
[mathjax]f^{\prime}(x)=[/mathjax] ( doplnte)
a operacie na mocninovych radoch daju pre [mathjax](1+x)f’(x)-\alpha f(x) =\sum_{n\ge0}b_nx^n[/mathjax] tieto rovnosti

[mathjax]b_0=-\alpha a_0+a_1[/mathjax]
[mathjax]b_1=-\alpha a_1+2a_2+a_1[/mathjax]
......
[mathjax]b_n=-\alpha a_n+(n+1)a_{n+1}+ na_n[/mathjax].

No vsak [mathjax]b_n=0[/mathjax] pre kazde n ( prava strana (*) v #12 je nulova) a tiez [mathjax]a_0=f(0)=1[/mathjax], konecne mame

[mathjax]a_n= \frac {\alpha(\alpha -1)...(\alpha-n+1)}{n!}[/mathjax].

Co da hladany rozvoj polomeru [mathjax]R=1[/mathjax].  (To R vam necham overit).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson