Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 01. 2021 20:25

Gauß69
Příspěvky: 32
Reputace:   
 

Regularita slabeho riesenia elliptickej sustavy diferencialnych rovnic

Pekny vecer prajem,

zadana je funkcia
[mathjax]u(x)=\frac{x}{|x|^\gamma} \ ,\ \gamma =\frac{n}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{4(n-1)^2+1}}), \ \ x\in\mathbb{R}^n[/mathjax]

a tiez je zadana funkcia
[mathjax]A_{ij}^{\alpha \beta }(x)=\delta _{\alpha \beta }\delta _{ij }+((n-2)\delta _{\alpha i }+n\frac{x_\alpha x_i}{|x|})((n-2)\delta _{\beta j }+n\frac{x_\beta x_j}{|x|}) \ ,\ \ \ \ \ \ i,\ j,\ \alpha,\ \beta\in \{1,...,n\}[/mathjax]

Rad by som dokazal, ze pre [mathjax]\varepsilon \to 0[/mathjax] plati:
[mathjax]\int_{B_{2\varepsilon} } A_{ij}^{\alpha \beta }D_\beta u^j D_\alpha(\eta \varphi ^i) \to 0\ \ \ \ \ \ \forall\varphi \in C_0^\infty(B,\mathbb{R}^n)[/mathjax]

pricom
[mathjax]0<\varepsilon<\frac{1}{2}\ ,\ B_{2\varepsilon}=\{x\in\mathbb{R}^n: |x|<2\varepsilon\}\ [/mathjax]
a [mathjax]\eta [/mathjax] je vhodne zvolena cut-off funkcia s vlastnostou
[mathjax]\eta(x) \equiv 1, \ x\in B_\varepsilon[/mathjax] , a  [mathjax]\eta(x) \equiv 0, \ x\in \mathbb{R}^n\setminus B_{2\varepsilon}[/mathjax]

Doteraz sa mi podarilo dokazat nasledujuce vlastnosti funkcii [mathjax]u[/mathjax] a [mathjax]A_{ij}^{\alpha \beta }[/mathjax]:
[mathjax]u\in W^{1,2}(B_1,\mathbb{R}^n)[/mathjax]
[mathjax]A_{ij}^{\alpha \beta }\in L^\infty(B_1)[/mathjax]
[mathjax]\lambda |\zeta |^2\le A_{ij}^{\alpha \beta }\zeta _\alpha^i\zeta _\beta^j\le M |\zeta |^2 \ \ ,\ \ \ \lambda ,\ M>0[/mathjax]

(Je to pisane s Einsteinovou sumacnou konvenciou)

Offline

 

#2 26. 01. 2021 00:22

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: Regularita slabeho riesenia elliptickej sustavy diferencialnych rovnic

Ahoj,
co na tom chces dokazovat? Pokud Du je v L^2, tak potom A Du D(eta phi) je take v L^2 (nezavisle na epsilon podle tveho zadani) a z Holderovy nerovnosti ten integral je mensi nez $C|B_{2\varepsilon}|^{\frac12}$. Btw. nezminil jsi jakou rovnici ta funkce resi, ale tipnul bych, ze neco jako div(|Du|^p A Du)=0.

Offline

 

#3 26. 01. 2021 01:59

Gauß69
Příspěvky: 32
Reputace:   
 

Re: Regularita slabeho riesenia elliptickej sustavy diferencialnych rovnic

↑ Bati:
Ahoj Bati, dakujem za odpoved.
Funkcia [mathjax]u[/mathjax] by mala byt slabym riesenim systemu rovnic [mathjax]-D_\alpha (A_{ij}^{\alpha \beta }D_\beta u^j)=0\ \ \forall i\in\{1,...,n\}[/mathjax] na [mathjax]B_1[/mathjax].
Je to priklad od De Giorgi 1968.

Ako si sa prosim ta konkretne dostal k [mathjax]C|B_{2\varepsilon}|^{\frac{1}{2}}[/mathjax] ?

Ja to vidim s Holderovou nerovnostou tak, ze:
[mathjax]|\int_{B_{2\varepsilon} } A_{ij}^{\alpha \beta }D_\beta u^j D_\alpha(\eta \varphi ^i) |\le \max \|A_{ij}^{\alpha \beta }\|_{L^\infty}\cdot \int_{B_{2 \varepsilon} }|D_\beta u^j|\ |D_\alpha (\eta \varphi ^i)|[/mathjax]
[mathjax]\le \max \|A_{ij}^{\alpha \beta }\|_{L^\infty}\cdot \sqrt{\int_{B_{2\varepsilon} }|D_\beta u^j|^2}\sqrt{\int_{B_{2\varepsilon} }|D_\alpha (\eta \varphi ^i)|^2}=\max \|A_{ij}^{\alpha \beta }\|_{L^\infty}\cdot (2\varepsilon)^n\sqrt{\int_{B_1 }|D_\beta u^j|^2}\sqrt{\int_{B_1}|D_\alpha (\eta \varphi ^i)|^2}[/mathjax]
[mathjax]=(2\varepsilon)^n\max \|A_{ij}^{\alpha \beta }\|_{L^\infty}\|D_\beta u^j\|_{L^2}\|D_\alpha (\eta \varphi ^i)\|_{L^2}\to0[/mathjax]
Ak som nespravil v ziadnom kroku chybu, tak by aj toto malo riesit moj problem.

Otazne je len preco bolo treba pouzit cut-off funkciu [mathjax]\eta [/mathjax].
Kedze bolo potrebne dokazat, ze [mathjax]u[/mathjax] je slabym riesenim hore uvedeneho systemu, tak treba dokazat:
[mathjax]\int_{B_1 } A_{ij}^{\alpha \beta }D_\beta u^j D_\alpha\varphi  ^i = 0\ \ \ \ \ \ \forall\varphi \in C_0^\infty(B,\mathbb{R}^n)[/mathjax]

V navode na riesenie je napisane, ze k [mathjax]\varepsilon \in(0,1/2)[/mathjax] treba zvolit cut-off funkciu [mathjax]\eta [/mathjax] so spomenutymi vlastnostami. Dalej treba vyuzit, ze [mathjax]\varphi =(1-\eta )\varphi +\eta \varphi [/mathjax]. A dalej treba vyuzit, ze [mathjax]u[/mathjax] je aj klasickym riesenim nasho systemu rovnic na [mathjax]B_1\setminus B_\varepsilon[/mathjax]. A nakoniec treba dokazat, ako som v prvom prispevku uviedol:
[mathjax]\int_{B_{2\varepsilon} } A_{ij}^{\alpha \beta }D_\beta u^j D_\alpha(\eta \varphi ^i) \to 0\ \ \ \ \ \ \forall\varphi \in C_0^\infty(B,\mathbb{R}^n)[/mathjax]

Chcem tym povedat, ze by som mohol hned pouzit, ze [mathjax]u[/mathjax] je klasickym riesenim na [mathjax]B_1\setminus B_\varepsilon[/mathjax]. A pre zvysny integral ponad [mathjax] B_\varepsilon[/mathjax] by som pouzila Holdera a islo by to k nule.
Preto si myslim, ze mi tu nieco nepasuje. Lebo takymto sposobom by som funkciu [mathjax]\eta [/mathjax] vobec nemusel pouzit ako stoji v navode.

Offline

 

#4 26. 01. 2021 13:24

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: Regularita slabeho riesenia elliptickej sustavy diferencialnych rovnic

Gauß69 napsal(a):

↑ Bati:
Ako si sa prosim ta konkretne dostal k [mathjax]C|B_{2\varepsilon}|^{\frac{1}{2}}[/mathjax] ?

Pokud $f\in L^2(B_1)$, tak
$\int_{B_{\varepsilon}}|f|\leq\|1\|_{2,B_{\varepsilon}}\|f\|_{2,B_{\varepsilon}}\leq|B_{\varepsilon}|^{\frac12}\|f\|_{2,B_1}$.

Aha, uz chapu co je vlastne zadani... no problem je v tom ,ze prave ten cut-off eta zavisi na epsilon. To by samo o sobe nevadilo, ale ty tam mas vlastne gradient tehle funkce, coz vyhodi 1/epsilon na tom mezikruzi, proto to nejde tak jednoduse odhadnout jak jsem napsal. Je potreba hezky rozderivovat ten soucin a odhadnout obe casti... kdyby to neslo, tak se jeste ozvi.

Offline

 

#5 26. 01. 2021 14:12

Gauß69
Příspěvky: 32
Reputace:   
 

Re: Regularita slabeho riesenia elliptickej sustavy diferencialnych rovnic

Jaj, tak si myslel Holdera, uz je mi jasne.

Tu cut-off funkciu som potreboval, aby som mohol pouzit parcialnu integraciu na [mathjax]B_1\setminus B_{2\varepsilon}[/mathjax]. Lebo [mathjax](1-\eta)\varphi ^i [/mathjax] ma nulove okrajove podmienky na [mathjax]B_1\setminus B_{2\varepsilon}[/mathjax].

Este raz vdaka :)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson