Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Zdravím, mám docela zajímavý problém. Byl zmíněn v bonusových úlohách v kurzu k matematické olympiádě, které si teď vzhledem k blížícímu se kolu, zpětně procházím, a nějak se z něj nemůžu vůbec vymotat. Zní takto:
Máme n kladných reálných čísel [mathjax]X{1} - X{n}[/mathjax] se součtem 1.
Napíšeme si čísla:
[mathjax]\frac{X{1}}{1+ X{1}}, \frac{X{2}}{1+X{1}+X{2}} , \frac{X{3}}{1+X{1}+X{2}+X{3}}, ....,\frac{X{n}}{1+X{1}+....+X{n}}[/mathjax]
největší z těchto čísel označme M. Určete nejnižší možnou hodnotu M.
Jediné co, tak mě napadlo ty zlomky obrátit, ale nevím jak tam mám zakomponovat fakt, ze součet je 1, takže budu rada za nějakou radu.
Offline
Ahoj, úloha by si zasloužila přesunout do sekce "Zajímavé..." Neznám všechny právě vypsané soutěže, tak nevím, zda řešením neporuším jejich pravidla.
Na co jsem zatím přišel:
Offline
↑ check_drummer:
Jo, to je chytré. Nad něčím takovým jsem taky uvažovala, ale došlo mi ze vlasně pořád nevím jak tam dostat ten součet v rozumné formě. Napadlo mě jedině si třeba nějaké dva členy vyjádřit ze [mathjax]\frac{X{t}}{1+X{1}+....+X{t}}, \frac{X{r}}{1+1- (X{n}+....+X{r+1})}[/mathjax]
A najít nějaký střed nebo tak něco.
Ale jinak, taky doufám že žádná pravidla žádné soutěže neporušuju, ale snad ne, alespoň myslím :)
Offline
No a taky nevím jak ji mám přesunout do jiné sekce
:(
Offline
↑ uršulka_life:
Je to zadání opsáno celé?
Není ještě nějaká dalčí podmínka pro xi ? (třeba, že musí být každé jiné?)
Pokud mohou být xi stejná, pak by to šlo podle mě takto
x1=1/n=x2=...xi=...xn
Pak [mathjax]M=\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{1}{n+1}[/mathjax]
Offline
↑ Honzc:
No ale kdyby byli X stejné tak by se pak ty výrazy nerovnaly
Offline
↑ uršulka_life:
Já v zadání nikde nevidím, že čísla x1/(1+x1), ..... xn/(1+x1+x2+...+xn) mají být stejná.
Naopak z těchto čísel máme vybrat to největší a určit jeho nejnižší možnou hodnotu.
Offline
↑ Honzc:
No já jsem vycházela z toho, co napsal ↑ check_drummer:,
Ze pokud výraz s Xi označíme za menší než ten s Xi+1, a Xi nepatrně zvýšíme Xi+1 o stejnou hodnotu snížíme, menší výraz se o trochu zvětší a větší zmenší.
Offline
↑ MichalAld:
Nene, žadná podmínka velikostí tam není. To zadání je přesně přepsané.
Offline
↑ laszky:
Nemam bohuzel
Můžeš mi prosím vysvětlit postup?
Offline
↑ uršulka_life:
Navod: Namisto cisel [mathjax]y_1=\frac{X{1}}{1+ X{1}}, y_2=\frac{X{2}}{1+X{1}+X{2}} , y_3=\frac{X{3}}{1+X{1}+X{2}+X{3}}, ....,y_n=\frac{X{n}}{1+X{1}+....+X{n}}[/mathjax] uvazuj cisla [mathjax]z_k=1-y_k[/mathjax] a spocti geometricky prumer [mathjax]G[/mathjax] cisel [mathjax]z_1,z_2,\dots,z_n[/mathjax]. Dal vyuzij toho, ze [mathjax]\max y_k = \max\{1-z_k\}= 1-\min z_k \geq 1-G[/mathjax] a staci ti tedy uz jen najit takova [mathjax]y_k,[/mathjax] ze plati rovnost.
Offline
↑ laszky:
To je chytré. Mohl bys mi prosím ještě upřesnit jak dostat nějakou rozumnou věc v tom geometrickém průměru, pořád jsem trochu mimo..
Offline
Trochu těžké na úlohu pro prvák, nemyslíte?
Offline
↑ uršulka_life:
No musis si ty [mathjax]z_k=1-y_k[/mathjax] trochu upravit (prevest na spolecny jmenovatel). Spocti si [mathjax]z_1, z_2, z_3[/mathjax] a uvidis, cemu se bude rovnat [mathjax]z_1\cdot z_2\cdot z_3\cdots[/mathjax].
Offline
↑ laszky:
Jo jasně. Já to předtim zkoušela a nějak jsem to zmotala. Teď už mi to vyšlo.
Fakt moc děkuju za pomoc, pochopila jsem to, tak teď budu moct zase klidně spát :)
Offline
↑ uršulka_life:
Krajské kolo MO tiež nie je pre každého, a úlohy z prípravného kurzu naň na tom budú podobne.
Offline
↑ Ferdish:
Tak tohle bylo uvedeno naštěstí jako nejtěžší bonusová :)
Offline
↑ uršulka_life:↑ uršulka_life:
Ať to tedy uvedme všechno:
[mathjax]y_{min}=1-2^{-\frac{1}{n}}[/mathjax]
[mathjax]x_{i}=2^{\frac{i}{n}}(1-2^{-\frac{1}{n}})[/mathjax]
podmínka
[mathjax]\sum_{i=1}^{n}x_{i}=1[/mathjax]
Takto vychází všechna y stejně
Offline
↑ check_drummer:
Ahoj,
dovolím si dokončit svou myšlenku výše.
V případě, že jsou [mathjax]y_i[/mathjax] shodné (tuto hodnotu označme v), tak lze snadno (ze vztahu mezi výrazy [mathjax]y_{i+1}[/mathjax] a [mathjax]y_i[/mathjax]) vyjádřit závislost [mathjax]X_{i+1}[/mathjax] na [mathjax]X_i[/mathjax]
jako [mathjax]X_{i+1} = \frac{X_i}{1-v}[/mathjax] - a tedy [mathjax]X_i[/mathjax] tvoří geometrickou posloupnost (s kvocientem [mathjax]q=\frac{1}{1-v}[/mathjax]), o které víme, že její součet je 1, tj. dostaneme vztah [mathjax]X_1\frac{1-q^n}{1-q}=1[/mathjax].
A spolu se vztahem [mathjax]v=\frac{X_1}{1+X_1}[/mathjax] tak získáváme tři rovnice o třech neznámých (q,v,[mathjax]X_1[/mathjax]), ze kterých vyjádříme [mathjax]v=1-\frac{1}{\sqrt[n]{2}}[/mathjax], což je hledaná hodnota.
Offline
↑ check_drummer:
To je taky hezký důkaz, díky.
Offline
Stránky: 1