Matematické Fórum

↑ check_drummer:
Jo, to je chytré. Nad něčím takovým jsem taky uvažovala, ale došlo mi ze vlasně pořád nevím jak tam dostat ten součet v rozumné formě. Napadlo mě jedině si třeba nějaké dva členy vyjádřit ze [mathjax]\frac{X{t}}{1+X{1}+....+X{t}}, \frac{X{r}}{1+1- (X{n}+....+X{r+1})}[/mathjax]
A najít nějaký střed nebo tak něco.
Ale jinak, taky doufám že žádná pravidla žádné soutěže neporušuju, ale snad ne, alespoň myslím :)

↑ uršulka_life:
Je to zadání opsáno celé?
Není ještě nějaká dalčí podmínka pro xi ? (třeba, že musí být každé jiné?)
Pokud mohou být xi stejná, pak by to šlo podle mě takto
x1=1/n=x2=...xi=...xn
Pak [mathjax]M=\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{1}{n+1}[/mathjax]

↑ uršulka_life:
Já v zadání nikde nevidím, že čísla x1/(1+x1), ..... xn/(1+x1+x2+...+xn) mají být stejná.
Naopak z těchto čísel máme vybrat to největší a určit jeho nejnižší možnou hodnotu.

Mě by třeba zajímalo, jestli jsou ta čísla X1 ... Xn seřazená podle velikosti, nebo mohou být i proházená...

↑ uršulka_life:

Ahoj, a mas k tomu výsledek?

↑ uršulka_life:

Navod: Namisto cisel [mathjax]y_1=\frac{X{1}}{1+ X{1}}, y_2=\frac{X{2}}{1+X{1}+X{2}} , y_3=\frac{X{3}}{1+X{1}+X{2}+X{3}}, ....,y_n=\frac{X{n}}{1+X{1}+....+X{n}}[/mathjax] uvazuj cisla [mathjax]z_k=1-y_k[/mathjax] a spocti geometricky prumer [mathjax]G[/mathjax] cisel [mathjax]z_1,z_2,\dots,z_n[/mathjax]. Dal vyuzij toho, ze [mathjax]\max y_k = \max\{1-z_k\}= 1-\min z_k \geq 1-G[/mathjax] a staci ti tedy uz jen najit takova [mathjax]y_k,[/mathjax] ze plati rovnost.

↑ laszky:
To je chytré. Mohl bys mi prosím ještě upřesnit jak dostat nějakou rozumnou věc v tom geometrickém průměru, pořád jsem trochu mimo..

Trochu těžké na úlohu pro prvák, nemyslíte?

↑ laszky:
Jo jasně. Já to předtim zkoušela a nějak jsem to zmotala. Teď už mi to vyšlo.
Fakt moc děkuju za pomoc, pochopila jsem to, tak teď budu moct zase klidně spát :)

↑ Ferdish:
Tak tohle bylo uvedeno naštěstí jako nejtěžší bonusová :)

↑ check_drummer:
Ahoj,
dovolím si dokončit svou myšlenku výše.
V případě, že jsou [mathjax]y_i[/mathjax] shodné (tuto hodnotu označme v), tak lze snadno (ze vztahu mezi výrazy [mathjax]y_{i+1}[/mathjax] a [mathjax]y_i[/mathjax]) vyjádřit závislost [mathjax]X_{i+1}[/mathjax] na [mathjax]X_i[/mathjax]
jako [mathjax]X_{i+1} = \frac{X_i}{1-v}[/mathjax] - a tedy [mathjax]X_i[/mathjax] tvoří geometrickou posloupnost (s kvocientem [mathjax]q=\frac{1}{1-v}[/mathjax]), o které víme, že její součet je 1, tj. dostaneme vztah [mathjax]X_1\frac{1-q^n}{1-q}=1[/mathjax].
A spolu se vztahem [mathjax]v=\frac{X_1}{1+X_1}[/mathjax] tak získáváme tři rovnice o třech neznámých (q,v,[mathjax]X_1[/mathjax]), ze kterých vyjádříme [mathjax]v=1-\frac{1}{\sqrt[n]{2}}[/mathjax], což je hledaná hodnota.