Matematické Fórum

↑ studentka_matiky:

Dokažte, že platí: ∀𝑝,𝑞∈𝑁: 𝑝2=5𝑞2⇒𝑝,𝑞 jsou soudělná čísla.

Předpokládejme, že [mathjax]p^{2}=5*q^{2}[/mathjax] ...potom po odmocnění

[mathjax]p=\sqrt{5}*q[/mathjax]  ...ale to není možné, protože p,q mají být  přirozená čísla.

Tedy podmínka [mathjax]p^{2}=5*q^{2}[/mathjax] nebude nikdy splněna.



Pak je třeba se zamyslet, zda platí nebo neplatí (a proč) například tvrzení
∀𝑝,𝑞∈𝑁: 0>1 ⇒𝑝,𝑞 jsou soudělná čísla

Tyhle důkazy mám  provedené. U příkladu 3 je to špatně zapsané, tam ta odmocnina u 12 na obou stranách nerovnice patří i nad √13.
Tam jsem to dělala sporem. Jde jen o to vyřešit správně tu nerovnici. Dvakrát jsem umocňovala na 2 v postupných krocích. Tam jsem potom (2√12+√13-1)^2 chápala jako (a-b)^2, kde a=2√12+√13.
Nevím, zda ji mám celou správně.

V každém případě moc děkuju. Vnímám, že už mi některé důkazy jdou a pomůže mi, když si mohu ověřit výsledky nebo tu najdu řešení, když vůbec nevím. :-)

Dokažte, že √5 je iracionální číslo. To je zrovna pěkný příklad na důkaz sporem, a navíc to není úplně triviální na pochopení.

Předpokládejme tedy, že √5 je racionální číslo, tedy že je lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel a/b. Tahleta čísla nemusejí být nutně prvočísla, ale když si napíšeme jejich prvočíselný rozklad, tak můžeme všechna prvočísla, co se vyskytují v a i b vykrátit, a dostaneme nová čísla a, b, která jsou už nesoudělná (že zlomek už dále krátit nelze). Tím jsme mohli samozřejmě začít, ale nebylo by to už tak názorné.

Takže teď je jasné, že buď a, nebo b (nebo obě) neobsahují ve svém prvočíselném rozkladu pětku. Protože kdyby ji obsahovaly obě, mohli bychom ji vykrátit.

Teď, když si to přepíšeme na √5 b = a, umocníme, takže 5.b.b = a.a

Pokud neobsahovalo pětku "áčko" tak ji nemůže obsahovat ani a.a a tudíž rovnost nemůže platit. Pokud neobsahovala pětku "béčko", tak a.a musí obsahovat minimálně 2 pětky, a zase to nemůže platit.

Uvedený postup lze aplikovat na všechna čísla, pokud v jejich prvočíselném rozkladu není každé prvočíslo 2x (nebo 4x, nebo 6x atd), tedy pokud jejich odmocnina není také celé číslo.