Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Zdravím,
je tá rovnica zapísaná správne? Pretože ak by mala opisovať pohyb nejakého pružinového oscilátora (vzhľadom na kontext zadania), tak by ten druhý člen mal byť v tvare [mathjax]kx[/mathjax] a nie [mathjax]k\dot{x}[/mathjax] a namiesto člena [mathjax]\ddot{x}[/mathjax] by som v rovnici očakával [mathjax]m\ddot{x}[/mathjax], kde [mathjax]m[/mathjax] je hmotnosť telesa daného oscilátora.
Offline
↑ Hafis:
Homogenní diferenciální rovnice druhého řádu se řeší tak, že se vytvoří charakteristický polynom levé strany tak, že se derivace nahradí mocninami, tedy v tomto případě takto:
[mathjax]\lambda ^2+k\lambda =0[/mathjax]
Toto vyřešíš jako kvadratickou rovnici:
[mathjax]\lambda(\lambda+k) =0[/mathjax]
[mathjax]\lambda_1 = 0, \lambda_2=-k[/mathjax]
X se potom rovná součtu součinů konstant s [mathjax]e^{\lambda t}[/mathjax], tedy
[mathjax]x=C_1e^{\lambda _1t}+C_2e^{\lambda _2t} = C_1e^{0t}+C_2e^{-kt} = C_1+C_2e^{-kt}[/mathjax]
Offline
Omlouvám se, jedná se vskutku o rovnici: [mathjax]m\ddot{x}+k\dot{x}=0[/mathjax]
Došel jsem ke stejnému výsledku jako Placka03, akorát tedy jsem upravil výsledek o předchozí chybu v mém zápisu výchozí rovnice na: [mathjax]x = C_1+C_2e^{\frac{-k}{m}t}[/mathjax]
Mohl bych poprosit o další postup, jak určit konstanty [mathjax]C_{1}[/mathjax] a [mathjax]C_{2}[/mathjax]?
Offline
Pokud je k tuhost pružiny, tak platí to co napsal Ferdish. Takto by bylo k koeficient tlumení, a popisovalo by to zhruba těleso pohybující se v nějakém prostředí, co klade odpor.
Navíc je v podstatě nesmysl to řešit jako rovnici druhého řádu, když z toho substitucí z=x' dostaneme rovnici prvního řádu...
Offline
↑ žabí hněv:
Pokud a , pak je tedy ?
Není možné, že mám zde chybu a mělo by to být tak, že ?
Offline
Pokud
[mathjax]x = C_1+C_2e^{\frac{-k}{m}t}[/mathjax]
pak
[mathjax]x_{(0)} = C_1+C_2e^{\frac{-k}{m}0}=C_1+C_2[/mathjax]
A dále,
[mathjax]x' = \frac{-k}{m}C_2e^{\frac{-k}{m}t}[/mathjax]
takže
[mathjax]x'_{(0)} = \frac{-k}{m}C_2e^{\frac{-k}{m}0}=\frac{-k}{m}C_2[/mathjax]
Z toho se musejí určit ty konstanty.
Offline