Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Dobrý den,
chtěl bych se zeptat, jak mám počítat tadytu rovnici. Zpočátku mi přišla jednoduchá, protože jsem to jednoduše poupravoval, že x mi vyšlo 1/2:
4ix²=-1
16i²x²=1
x^4=1/16
x=1/2
Ale výsledky ukazujou něco trochu jiného :D. Nasměroval by mě někdo prosím aspoň jak začít? Děkuji.
Offline
ahoj,
umocnění rovnice je ekvivalentní úprava jen tehdy, jsou-li obě strany rovnice nezáporné v celém oboru,
proto bych postupoval takto
[mathjax]\displaystyle x^2=-\frac{1}{4\,{\rm i}}[/mathjax]
dále upravit pravou stranu a počítat odmocninu z komplexního čísla
Offline
Nejjednodušší je asi si vyjádřit číslo které chceme odmocňovat v exponenciálním tvaru, tedy:
[mathjax]x^2=-\frac{1}{4i}=\frac{1}{4}i=\frac{1}{4}e^{i \frac{\pi}{2}}[/mathjax]
No a teď vzpomeneme, že komplexní exponenciála je periodická s periodou [mathjax]2\pi[/mathjax] takže
[mathjax]x= \sqrt{\frac{1}{4}}\cdot e^{i (\frac{\pi}{2} + n\cdot 2\pi)/2}[/mathjax]
Kde za n dosazujeme všechna celá čísla tak dlouho, dokud dostáváme odlišné výsledky. Snadno naznáme, že když děláme druhou odmocninu (tedy je tam to /2), tak máme jen dvě možnosti, n=0, což vede na [mathjax]e^{i\frac{\pi}{4}}[/mathjax] a nebo n=1, což vede na [mathjax]e^{i\ (\pi + \frac{\pi}{4})}[/mathjax].
Pokud bychom dělali 4. odmocninu, byly by možné výsledky 4, pro k-tou odmocninu jich bude obecně k (s tím, že za n budeme dosazovat postupně čísla 0, 1, 2, 3 .... k-1)
Offline
Stojí za to si zapamatovat, že [mathjax]\sqrt{i}[/mathjax] není žádné pěkné číslo...použitím před-chvílí-ukázaného-postupu dostaneme, že
[mathjax]\sqrt{i}=e^{i\frac{\pi}{4}}=\cos(45^\circ)+i \sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}[/mathjax]
A druhý kořen bude
[mathjax]\sqrt{i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}[/mathjax]
Offline
↑ MichalAld:Děkuji moc všem. Postup už chápu, ale takto dopodrobna jsme to neprobírali no.
Offline
↑ R4Z0:
Ta rovnice ti přišla jednoduchá, protože ona je jednoduchá. Je tam jeden malý trik (pokud to teda nechceš počítat přes exponenciální tvar)
- to je normální vzoreček - zkontroluj si to.
no a pak můžeš klasicky odmocnit
Offline
Poznamka 1.
Tu som podrobne napisal nieco na tu temu
https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=90346 , v #9.
Poznamka 2.
Pozor.
V #1, prvy pripvok tohto vlakne, je chyba vo vypoctoch.
Uvedeny prvy vypocet je urobeny, ako keby vyraz [mathjax]4ix^2[/mathjax] bol [mathjax](4ix)^2[/mathjax]
Offline