Matematické Fórum

↑ Mirek2: To jsem taky zkoušel, ale tím se dostanu k:
x^2=i/4
x=odmocnina z i/2

a dál v podstatě nejde pokračovat ne?

↑ marnes: To mi vychází +- odmocnina z i/2
Odmocnina z i je to stejné jako i? Nebo se ji nějak musím zbavit? Zkoušel jsem to hledat na internetu, ale neuspěl jsem.

Nejjednodušší je asi si vyjádřit číslo které chceme odmocňovat v exponenciálním tvaru, tedy:

[mathjax]x^2=-\frac{1}{4i}=\frac{1}{4}i=\frac{1}{4}e^{i \frac{\pi}{2}}[/mathjax]

No a teď vzpomeneme, že komplexní exponenciála je periodická s periodou [mathjax]2\pi[/mathjax] takže

[mathjax]x= \sqrt{\frac{1}{4}}\cdot e^{i (\frac{\pi}{2} + n\cdot 2\pi)/2}[/mathjax]

Kde za n dosazujeme všechna celá čísla tak dlouho, dokud dostáváme odlišné výsledky. Snadno naznáme, že když děláme druhou odmocninu (tedy je tam to /2), tak máme jen dvě možnosti, n=0, což vede na [mathjax]e^{i\frac{\pi}{4}}[/mathjax] a nebo n=1, což vede na [mathjax]e^{i\ (\pi + \frac{\pi}{4})}[/mathjax].

Pokud bychom dělali 4. odmocninu, byly by možné výsledky 4, pro k-tou odmocninu jich bude obecně k (s tím, že za n budeme dosazovat postupně čísla 0, 1, 2, 3 .... k-1)

Stojí za to si zapamatovat, že [mathjax]\sqrt{i}[/mathjax] není žádné pěkné číslo...použitím před-chvílí-ukázaného-postupu dostaneme, že

[mathjax]\sqrt{i}=e^{i\frac{\pi}{4}}=\cos(45^\circ)+i \sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}[/mathjax]

A druhý kořen bude

[mathjax]\sqrt{i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}[/mathjax]

↑ R4Z0:
Ta rovnice ti přišla jednoduchá, protože ona je jednoduchá. Je tam jeden malý trik (pokud to teda nechceš počítat přes exponenciální tvar)

  - to je normální vzoreček - zkontroluj si to.
no a pak můžeš klasicky odmocnit