Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 12. 04. 2021 15:07
Kmity - 2 pružiny 1 těleso
Dobrý den, nevím si rady s tímto příkladem:
Závaží o hmotnosti m kmitá na první pružině s periodou T1 = 0.15 s a na druhé pružině
s periodou T2 = 0.45 s. S jakou periodou T bude kmitat zavěšeno na obou pružinách
a) spojených pod sebou,
b) pověšených vedle sebe?
Děkuji předem za odpovědi.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) AK)
#2 12. 04. 2021 15:48
- Mirek2
- Příspěvky: 1213
Re: Kmity - 2 pružiny 1 těleso
Ahoj,
perioda kmitání pružinového oscilátoru s tuhostí pružiny [mathjax]k[/mathjax] je
[mathjax]\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}[/mathjax]
neboli (na vš) úhlová frekvence [mathjax]\omega^2=k/m[/mathjax].
Při sériovém řazení pružin (pod sebou) platí pro výslednou tuhost
[mathjax]\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}[/mathjax]
při paralelním řazení (vedle sebe) se tuhosti pružin sčítají.
Offline
#4 12. 04. 2021 16:18 — Editoval MichalAld (12. 04. 2021 16:31)
Re: Kmity - 2 pružiny 1 těleso
No, když znáš vztah pro sčítání tuhostí (třeba k = k1+k2, při paralelním spojení pružin), tak si odvoď vztah pro sčítání period. Nebo, což bude asi mnohem jednodušší, vztah pro sčítání [mathjax]\omega^2[/mathjax]
No, asi bych ti mohl i ukázat, jak na to...
[mathjax]\omega_1^2 = \frac{k_1}{m}[/mathjax]
[mathjax]\omega_2^2 = \frac{k_2}{m}[/mathjax]
Sečtením rovnic dostaneme
[mathjax]\omega_1^2 + \omega_2^2= \frac{k_1}{m}+\frac{k_2}{m}=\frac{k1+k2}{m}=\frac{k}{m}=\omega^2[/mathjax]
Pro sériové řazení pružin budeš muset sčítat [mathjax]\frac{1}{\omega^2}[/mathjax]
Offline
#5 12. 04. 2021 17:06
#6 12. 04. 2021 18:12 — Editoval Mirek2 (12. 04. 2021 18:15)
- Mirek2
- Příspěvky: 1213
Re: Kmity - 2 pružiny 1 těleso
↑ AK:
Do vztahu
[mathjax]\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}[/mathjax]
dosaď pro každou pružinu zvlášť [mathjax]T_1, T_2[/mathjax] a [mathjax]k_1, k_2[/mathjax] (hmotnost [mathjax]m[/mathjax] je stejná),
vyjádři [mathjax]k_1, k_2[/mathjax] a dosaď je do vztahu pro "sčítání" tuhostí pružin.
Vyjádři celkovou tuhost [mathjax]k[/mathjax] spojených pružin.
Nakonec opět použiješ vztah pro periodu [mathjax]T[/mathjax], kam dosadíš podíl [mathjax]m/k[/mathjax].
Napiš, jestli se zdařilo, když tak naznačím více.
Offline
#8 13. 04. 2021 13:18
- Mirek2
- Příspěvky: 1213
Re: Kmity - 2 pružiny 1 těleso
↑ AK:
Postupoval bych takto (stejně pro druhou pružinu)
[mathjax]\displaystyle T_1=2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}[/mathjax]
[mathjax]\displaystyle T_1^2=4\pi^2\frac{m}{k_1}[/mathjax]
[mathjax]\displaystyle k_1T_1^2=4\pi^2 m[/mathjax]
[mathjax]\displaystyle k_1=\frac{4\pi^2 m}{T_1^2}[/mathjax]
Pro sériové spojení pružin (pod sebou)
[mathjax]\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}[/mathjax]
[mathjax]\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{T_1^2}{4\pi^2 m}+\frac{T_2^2}{4\pi^2 m}=\frac{T_1^2+T_2^2}{4\pi^2 m}[/mathjax]
[mathjax]\displaystyle \frac{m}{k}=\frac{T_1^2+T_2^2}{4\pi^2}[/mathjax]
Pro dvě pružiny bude platit (dosadíme za [mathjax]m/k[/mathjax])
[mathjax]\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{T_1^2+T_2^2}{4\pi^2}}=\sqrt{T_1^2+T_2^2} [/mathjax]
Prosím o kontrolu.
Paralelní řazení pružin se bude řešit podobně, tam ale platí [mathjax]k=k_1+k_2[/mathjax].
Offline