Matematické Fórum

Ahoj,
perioda kmitání pružinového oscilátoru s tuhostí pružiny [mathjax]k[/mathjax] je

     [mathjax]\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}[/mathjax]

neboli (na vš) úhlová frekvence [mathjax]\omega^2=k/m[/mathjax].
Při sériovém řazení pružin (pod sebou) platí pro výslednou tuhost

     [mathjax]\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}[/mathjax]

při paralelním řazení (vedle sebe) se tuhosti pružin sčítají.

No, když znáš vztah pro sčítání tuhostí (třeba k = k1+k2, při paralelním spojení pružin), tak si odvoď vztah pro sčítání period. Nebo, což bude asi mnohem jednodušší, vztah pro sčítání [mathjax]\omega^2[/mathjax]


No, asi bych ti mohl i ukázat, jak na to...

[mathjax]\omega_1^2 = \frac{k_1}{m}[/mathjax]

[mathjax]\omega_2^2 = \frac{k_2}{m}[/mathjax]

Sečtením rovnic dostaneme

[mathjax]\omega_1^2 + \omega_2^2= \frac{k_1}{m}+\frac{k_2}{m}=\frac{k1+k2}{m}=\frac{k}{m}=\omega^2[/mathjax]

Pro sériové řazení pružin budeš muset sčítat [mathjax]\frac{1}{\omega^2}[/mathjax]

↑ AK:
Do vztahu
[mathjax]\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}[/mathjax]
dosaď pro každou pružinu zvlášť [mathjax]T_1, T_2[/mathjax] a [mathjax]k_1, k_2[/mathjax] (hmotnost [mathjax]m[/mathjax] je stejná),
vyjádři [mathjax]k_1, k_2[/mathjax] a dosaď je do vztahu pro "sčítání" tuhostí pružin.

Vyjádři celkovou tuhost [mathjax]k[/mathjax] spojených pružin.
Nakonec opět použiješ vztah pro periodu [mathjax]T[/mathjax], kam dosadíš podíl [mathjax]m/k[/mathjax].

Napiš, jestli se zdařilo, když tak naznačím více.

↑ AK:
Postupoval bych takto (stejně pro druhou pružinu)

     [mathjax]\displaystyle T_1=2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}[/mathjax]

     [mathjax]\displaystyle T_1^2=4\pi^2\frac{m}{k_1}[/mathjax]

     [mathjax]\displaystyle k_1T_1^2=4\pi^2 m[/mathjax]

     [mathjax]\displaystyle k_1=\frac{4\pi^2 m}{T_1^2}[/mathjax]

Pro sériové spojení pružin (pod sebou)

     [mathjax]\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}[/mathjax]

     [mathjax]\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{T_1^2}{4\pi^2 m}+\frac{T_2^2}{4\pi^2 m}=\frac{T_1^2+T_2^2}{4\pi^2 m}[/mathjax]

     [mathjax]\displaystyle \frac{m}{k}=\frac{T_1^2+T_2^2}{4\pi^2}[/mathjax]

Pro dvě pružiny bude platit (dosadíme za [mathjax]m/k[/mathjax])

    [mathjax]\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{T_1^2+T_2^2}{4\pi^2}}=\sqrt{T_1^2+T_2^2} [/mathjax]

Prosím o kontrolu.
Paralelní řazení pružin se bude řešit podobně, tam ale platí [mathjax]k=k_1+k_2[/mathjax].