Matematické Fórum

Zdravím, asi bude lepšie, keď zverejníš svoje presné zadanie, v ktorom táto situácia nastala.

No...energia, ktorú máš vypočítať bude v tomto prípade rovná práci, ktorá je definovaná ako [mathjax]W=\int_{}^{}\vec{F}\cdot {\mathrm{d} }\vec{s}[/mathjax] prípadne ak sa smer medzi vektorom sily [mathjax]\vec{F}[/mathjax] a elementom posunutia [mathjax]{\mathrm{d} }\vec{s}[/mathjax] nemení, tak to prejde do skalárneho tvaru [mathjax]W=\int_{}^{}F\,\mathrm{d} s[/mathjax]. To je integrál, ktorý máš spočítať.

↑ Kubas126:
To záleží na tom, ako sa ti s časom mení posunutie. Ako vyzerá graf závislosti posunutia od času? Je to lineárna závislosť (priamka)?

OK, rýchlosť vychádza konštantná, takže v tom prípade integrál prejde do tvaru [mathjax]W=\int_{}^{}Fv\,\mathrm{d}t=v\int_{}^{}F\,\mathrm{d}t[/mathjax]. Asi nemusím vysvetľovať, že [mathjax]v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}[/mathjax].

Učili ste sa už numericky integrovať? Mali ste okrem toho tabuľkového zadania nejakú inštruktáž k tomu, ako spočítať plochu pod krivkou určenú nejakým súborom dát?

Nie nevyhnutne. Úloha vám bola zadaná vo forme súboru s dátami a to samo o sebe dosť evokuje použitie numerickej integrácie. Sú programy na analýzu dát, ktoré majú funkciu numerického integrovania v sebe zabudovanú, ale ak človek vie ako na to, nepotrebuje žiaden extra software a stačí mu aj tabuľkový procesor typu Excel alebo Calc - jedno alebo druhé ma dnes na PC takmer každý.

Predtým, než však pristúpime k samotnej numerickej integrácii, skúsme či nie je možné náš integrál ďalej zjednodušiť. V rámci predpisu [mathjax]W=\int_{}^{}Fv\,\mathrm{d}t[/mathjax] sme už na základe lineárnej závislosti posunutia od času zistili, že rýchlosť [mathjax]v[/mathjax] je na čase nezávislá a teda môže byť vyňatá pred integrál. Ak tá istá vlastnosť (nezávislosť na čase) platí aj silu [mathjax]F[/mathjax], môžeme ju tiež vyňať a ostane nám banálny integrál [mathjax]\int_{}^{}\mathrm{d}t[/mathjax].

Časem se podle mě nemusíš zabývat vůbec, stačí počítat integrál

[mathjax]\int F ds[/mathjax]

numericky to jde více způsoby, ale ten nejjednodušší je určitě

[mathjax]\sum F \Delta s[/mathjax]

↑ Kubas126:
Áno, môžeš to tak urobiť, že súčet všetkých silových hodnôt prenásobíš elementom posunutia [mathjax]\triangle s[/mathjax].

↑ Kubas126:
To ako vážne? Preberali ste vôbec definíciu integrálu podľa Riemanna? Ak áno, táto otázka by pravdepodobne nikdy nepadla (za predpokladu, že si tú definíciu pochopil). Na akú školu vlastne chodíš, prípadne aký odbor ak je to VŠ?

Inak, [mathjax]\Delta s[/mathjax] je v tomto prípade elementárny prírastok dráhy/posunutia. V našom prípade je to rozdiel hodnôt posunutia [mathjax]s[/mathjax] v dvoch susedných riadkoch.

↑ Kubas126:
Ja som povedal, že [mathjax]\Delta s[/mathjax] je rozdiel hodnôt medzi SUSEDNÝMI riadkami, nie medzi prvým a posledným.

Tá suma [mathjax]\sum F \Delta s[/mathjax] čo ti kolega MichalAld napísal je suma elementárnych obsahov definovaných ako súčin hodnoty [mathjax]F[/mathjax] na [mathjax]i[/mathjax]-tom riadku a dĺžky elementu posunutia [mathjax]\Delta s=s_{i+1}-s_{i}[/mathjax], kde [mathjax]s_{i}[/mathjax] je hodnota posunutia na [mathjax]i[/mathjax]-tom riadku. V súlade s Riemannovou definíciou sa jedná o dolný Riemannov súčet.

Keď si však prejdeš všetky hodnoty v stĺpci posunutia, zistíš že rozdiel hodnôt medzi ľubovoľnými susednými riadkami je vždy konštantný (vychádza zhruba 0,067 mm) a teda ho môžeš vyňať pred sumu, ktorá ti tak prejde na [mathjax]\Delta s \sum F [/mathjax] kde [mathjax]\sum F [/mathjax] je súčet všetkých hodnôt sily v tvojom stĺpci.

↑ Kubas126:
Máš [mathjax]n[/mathjax] riadkov, teda [mathjax]n[/mathjax] dátových bodov, tie ti celý tvoj interval rozdelia na [mathjax]n-1[/mathjax] podintervalov.

Sumuješ cez počet podintervalov. Teda pre [mathjax]\sum F \Delta s[/mathjax] už aj s pridanými indexami bude platiť [mathjax]\sum_{i=1}^{n-1}F_i\Delta s_i[/mathjax], kde [mathjax]\Delta s_i=s_{i+1}-s_i[/mathjax].

↑ Kubas126:
Keby bol nejaký problém s odovzdaným riešením, ozvi sa opäť tu v tejto téme.