Matematické Fórum

Znovu jsem se dneska zamýšlel nad tím, jak kdysi Archimedes počítal obvod kružnice. A přišlo mi, že v jeho úvaze je menší díra (nečetl jsem originální dílo, spíš různé články).
--
Archimedes kružnici vpisoval a opisoval N-úhelníky, kde [mathjax]N = 3 \cdot 2^n[/mathjax]. A pak tvrdil, že délka kružnice musí být větší, než délka vepsaného N-úhelníku (to je mi jasné), ale současně menší, než délka opsaného N-úhelníku (což už tolik jasné není). Důkaz spoléhá totiž podle mě implicitně spoléhá na následující trzení:
--
Nechť ABC je trojúhelník,  [mathjax]\Gamma[/mathjax] konvexní křivka uvnitř trojúhelníku, jejíž koncové body jsou A, B. Pak délka křivky [mathjax]\Gamma[/mathjax] není delší, než [mathjax]|AC| + |CB|[/mathjax]. Přišlo mi jako zajímavé cvičení si tohle pomocné, zdánlivě zjevné tvrzení zkusit dokázat.
--
Nahrál bych sem ilustrační obrázek, ale nějak to blbne. :-(
--
Jinak ještě poznámka: z toho, jak je dnes definován pojem délky křivky (viz zde: https://www.math.muni.cz/~xschlesi/dp/web/i22.html) by asi Archimedův důkaz stejně neobstál - víceméně sice vychází z definice 2.6, ale vybere si jedno konkrétní dělení křivky (nikoliv obecné). A spoléhá na to, že jeho délka lomené čáry pro jeho dělení konverguje k supremu délek lomených čar všech možných dělení. Ale to už je spíš do sekce VŠ. Mě šlo spíš teď o tu část napsanou výše. :-)