Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 06. 05. 2021 18:51 — Editoval Anonymystik (06. 05. 2021 19:05)

Anonymystik
Příspěvky: 579
Reputace:   45 
 

Délka konvexní křivky uvnitř trojúhelníku

Znovu jsem se dneska zamýšlel nad tím, jak kdysi Archimedes počítal obvod kružnice. A přišlo mi, že v jeho úvaze je menší díra (nečetl jsem originální dílo, spíš různé články).
--
Archimedes kružnici vpisoval a opisoval N-úhelníky, kde [mathjax]N = 3 \cdot 2^n[/mathjax]. A pak tvrdil, že délka kružnice musí být větší, než délka vepsaného N-úhelníku (to je mi jasné), ale současně menší, než délka opsaného N-úhelníku (což už tolik jasné není). Důkaz spoléhá totiž podle mě implicitně spoléhá na následující trzení:
--
Nechť ABC je trojúhelník,  [mathjax]\Gamma[/mathjax] konvexní křivka uvnitř trojúhelníku, jejíž koncové body jsou A, B. Pak délka křivky [mathjax]\Gamma[/mathjax] není delší, než [mathjax]|AC| + |CB|[/mathjax]. Přišlo mi jako zajímavé cvičení si tohle pomocné, zdánlivě zjevné tvrzení zkusit dokázat.
--
Nahrál bych sem ilustrační obrázek, ale nějak to blbne. :-(
--
Jinak ještě poznámka: z toho, jak je dnes definován pojem délky křivky (viz zde: https://www.math.muni.cz/~xschlesi/dp/web/i22.html) by asi Archimedův důkaz stejně neobstál - víceméně sice vychází z definice 2.6, ale vybere si jedno konkrétní dělení křivky (nikoliv obecné). A spoléhá na to, že jeho délka lomené čáry pro jeho dělení konverguje k supremu délek lomených čar všech možných dělení. Ale to už je spíš do sekce VŠ. Mě šlo spíš teď o tu část napsanou výše. :-)


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#2 06. 05. 2021 19:02

check_drummer
Příspěvky: 3275
Reputace:   90 
 

Re: Délka konvexní křivky uvnitř trojúhelníku

↑ Anonymystik:
Ahoj, je to zajímavé, ale možná to patří spíš do úloh z VŠ (analýza), nevím zda existuje nějaký elementární důkaz.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#3 06. 05. 2021 19:04 — Editoval Anonymystik (06. 05. 2021 19:09)

Anonymystik
Příspěvky: 579
Reputace:   45 
 

Re: Délka konvexní křivky uvnitř trojúhelníku

↑ check_drummer: Ještě jsem tu zprávu editoval a už jsi stihnul zareagovat. :-D
Ten důkaz toho pomocného tvrzení, co jsem napsal, jde s použitím definice 2.6 udělat dost elementárně.


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#4 14. 05. 2021 20:04

check_drummer
Příspěvky: 3275
Reputace:   90 
 

Re: Délka konvexní křivky uvnitř trojúhelníku


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson