Matematické Fórum

nihil · 15. 05. 2021 14:40

V knize Přehled středoškolské matematiky, Josef Polák, jsem narazil na kvadratickou rovnici [mathjax]x^{2} - 6x - 27 = 0[/mathjax]

V knize se píše, že výsledek lze ověřit užitím Vietových vzorců:

[mathjax]x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = -p = 6[/mathjax]
[mathjax]x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = q = -27[/mathjax]

Řešení této soustavy lineárních rovnic lze provést tak, že vypočteme:

Následujícímu zápisu ale nerozumím:

[mathjax](x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2} = 144[/mathjax]

Vypadá to jako výpočet diskriminantu, nerozumím hlavně zápisu [mathjax](x_{1} - x_{2})^{2}[/mathjax]

Děkuji za jakoukoliv pomoc.

vlado_bb · 15. 05. 2021 14:58

↑ nihil: $(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$

$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-4x_1x_2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$

ide teda o rovnake vyrazy.

zdenek1 · 15. 05. 2021 15:04

↑ nihil:
Zdravím, asi nepíšeš celý postup.
a) ten zápis je jednoduchý: použiješ vzozeček $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ pro $x_1,x_2$ , takže máš
$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$
Když nyní odečteš $4x_1x_2$ , máš $x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-4x_1x_2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$ . a to je zase vzoreček $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ a tím dostaneš ten zápis, kterému nerozumíš.
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$ . Hodnoty napravé straně znáš z Vietových vztahů
$(x_1-x_2)^2=6^2-4\cdot(-27)=144$ .

b) A nyní, proč to dělat? Když si dáš podmínku $x_1>x_2$ , tak dostaneš $x_1-x_2=12$ a nyní k tomu přidáš 1. Vietův v ztah a máš soustavu
$\begin{cases}x_1+x_2=6\\x_1-x_2=12\end{cases}$ stačí ty dvě rovnice sečíst a vydělit dvěma a hned máš $x_1=9$ . Dopočítat $x_2$ už je hračka.

Celý smysl tohoto postupu je, že nechceš počítat diskriminat (ten tě vlastně vůbec nezajímá a je to práce navíc).

Mirek2 · 15. 05. 2021 15:05

Ahoj,

to je sice zajímavá, ale poněkud umělá úprava autora učebnice - umocněním závorek se můžeš přesvědčit, že je to dobře.

Při řešení soustavy rovnic s neznámými [mathjax]x_1, x_2[/mathjax] bych postupoval jednoduše tak,
že z druhé rovnice vyjádřím jednu neznámou a dosadím do první, např.

[mathjax]\displaystyle x_2=-\frac{27}{x_1}[/mathjax]

atd.

zdenek1 · 15. 05. 2021 15:08

↑ Mirek2:
Problém tebou navrženého postupu je, že když to skutečně uděláš, dostaneš původní kvadratickou rovnici, takže si vůbec nepomůžeš.

Mirek2 · 15. 05. 2021 15:15

↑ zdenek1:
Aha, nečetl jsem pořádně.

nihil · 15. 05. 2021 16:03

↑ zdenek1:
Děkuji moc. Zajíma mě ještě, jaký je důvod pro použití vzorce [mathjax](a + b)^{2}[/mathjax] a proč se má odečíst právě [mathjax]4x_{1}x_{2}[/mathjax]?
Myslel jsem, že tahle soustava se bude počítat dosazením, i proto nerozumím důvodu.

zdenek1 · 15. 05. 2021 16:34

↑ nihil:

Zajíma mě ještě, jaký je důvod pro použití vzorce $(a + b)^{2}$ a proč se má odečíst právě $4x_{1}x_{2}$ ?

Protože to funguje. Jiný důvod není.

nihil · 15. 05. 2021 22:11

↑ zdenek1:
Je to v podstatě o tom, že vyjádřením výrazu [mathjax](x_{1}-x_{2})^{2}[/mathjax] dostaneme výraz [mathjax](x_{1}+x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}[/mathjax], který v sobě obsahuje právě Vietovy vzorce? Jednoduše je tento rozklad vhodný právě pro kvadratcké rovnice?

zdenek1 · 17. 05. 2021 11:21

↑ nihil:
ANo

mulder · 17. 05. 2021 20:48

↑ nihil:staci cislo 27 rozlozit na soucin dvou cisel do dvou zavorek (x-3) *(x-9) a ted jen vhodne upravit znamenka, tak aby jejich soucet ci odecet dalo prostredni cislo

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2021 14:40

Vietovy vzorce

#2 15. 05. 2021 14:58

Re: Vietovy vzorce

#3 15. 05. 2021 15:04

Re: Vietovy vzorce

#4 15. 05. 2021 15:05

Re: Vietovy vzorce

#5 15. 05. 2021 15:08

Re: Vietovy vzorce

#6 15. 05. 2021 15:15

Re: Vietovy vzorce

#7 15. 05. 2021 16:03

Re: Vietovy vzorce

#8 15. 05. 2021 16:34

Re: Vietovy vzorce

#9 15. 05. 2021 22:11

Re: Vietovy vzorce

#10 17. 05. 2021 11:21

Re: Vietovy vzorce

#11 17. 05. 2021 20:48

Re: Vietovy vzorce

Zápatí