Matematické Fórum

↑ zdenek1:
Bohužel nejsem v tomdle vůbec zběhlý (je to první příklad který řeším) a tak netuším jak tam dát tu podminku na rychlost aby byla užitečná.

a jak tak uvažuji není i moje podmínka [mathjax]y(0)=0[/mathjax] nesmyslná, není smysluplnější podmínka [mathjax]y(0)=amplituda = y_{m}[/mathjax]?

možná dát podmínku [mathjax]y(0)=y_{m}[/mathjax]    [mathjax]v(0)=0[/mathjax]

↑ zdenek1:
Pořád nevím jak použít tu podmínku [mathjax]v(0)=0[/mathjax] jak použít podmínku [mathjax]y(0)=A[/mathjax] je mi celkem jasné dosadíme a vidíme [mathjax]C_{1}+C_{2}=A[/mathjax]
a taky vůbec netuším jak z toho můžu dostat ten tvar [mathjax]y=A\sin \omega t[/mathjax]

Než použít rovnici ve tvaru co jsi zmínil, [mathjax]y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}t }^{2}=ly[/mathjax] tedy [mathjax]y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}t }^{2}-ly=0[/mathjax] je lepší psát rovnici ve tvaru [mathjax]y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}t }^{2}+ly=0[/mathjax] nebo rovnou [mathjax]y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}t }^{2}+ \omega^2 y=0[/mathjax].

Protože abychom dostali rovnici harmonického kmitání, musí tam být všude stejná znaménka (a přirozené je aby tam byla kladná). Pokud tam bude jedno plus a jedno minus, vede to na řešení dvou reálných exponenciál, a jedna z nich je "nestabilní", tj s rostoucím časem utíká k nekonečnu. Což rozhodně není harmonický oscilátor, a ani žádný jiný pasivní či konzervativní systém.


Jinak tvé otázce moc nerozumím. Protože odvozovat harmonické kmitání z kruhového pohybu se dělá dokud člověk nezná diferenciální rovnice. Potom už je to zbytečné, a v podstatě starost navíc. Takže moc nevím, co tě vlastně trápí, jestli to, jak se řeší ta rovnice harmonického kmitání (jak se z toho odvodí ten sinus), nebo to, jak to souvisí s rotačním pohybem.

Pokud jde o ta řešení...trik je v tom, že tam musí vyjít ta odmocnina ze záporného čísla, tedy [mathjax]\sqrt{-\omega^2} = \pm i \omega[/mathjax]. A součet dvou takovýchto exponenciál dává cosinus, rozdíl sinus, viz tady

↑ MichalAld:
Děkuji za odpověď, Jenom by mě zajímalo jak jste se dostal k [mathjax]\sqrt{l}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega [/mathjax] . Pokud bychom mohli použít vzorec [mathjax]a=\omega ^{2}y[/mathjax] tak by to odvození bylo zjevné, ale to bychom museli první dokázat že bod na pružině se pohybuje po jakoby kruhové dráze ne?

MichalAld napsal(a):

Než použít rovnici ve tvaru co jsi zmínil, [mathjax]y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}t }^{2}=ly[/mathjax] tedy [mathjax]y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}t }^{2}-ly=0[/mathjax] je lepší psát rovnici ve tvaru [mathjax]y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}t }^{2}+ly=0[/mathjax] nebo rovnou [mathjax]y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}t }^{2}+ \omega^2 y=0[/mathjax].

Jinak koukám, že jsem se nechal unést...rovnice má samozřejmě vypadat takto:

[mathjax]\frac{d^2y}{dt^2}+\omega^2y=0[/mathjax]

Ty předchozí zápisy jsou nesmysl...

Pozitron napsal(a):

↑ MichalAld:
Děkuji za odpověď, Jenom by mě zajímalo jak jste se dostal k [mathjax]\sqrt{l}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega [/mathjax] . Pokud bychom mohli použít vzorec [mathjax]a=\omega ^{2}y[/mathjax] tak by to odvození bylo zjevné, ale to bychom museli první dokázat že bod na pružině se pohybuje po jakoby kruhové dráze ne?

Né, tohle s kruhovou dráhou nesouvisí. Když máme diferenciální rovnici ve tvaru

[mathjax]\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{k}{m}y=0[/mathjax]

a řešíme její charakeristický polynom, tak to je

[mathjax]\lambda^2+\frac{k}{m}[/mathjax]

[mathjax]\lambda^2 = -\frac{k}{m}[/mathjax]=0[/mj]

[mathjax]\lambda_{1,2} =\pm i \sqrt{\frac{k}{m}}[/mathjax]

Omegu tam v principu psát nemusíme vůbec, akorát si tím ušetříme práci, protože když nám pak vyjde, že

[mathjax]y=Y \sin( \sqrt{\frac{k}{m}} t + \varphi)[/mathjax]

tak víme, jaký je význam toho výrazu s odmocninou. Navíc v jiných oscilátorech tam vychází jiné kombinace veličin (l, g, L, C - podle toho, z čeho je oscilátor sestavený), a rovnice se řeší vždy stejně, jedno jaká písmenka tam napíšeme. Proto, když víme, co vyjde, tam můžeme psát rovnou omega^2 a ušetřit si tím trochu práce. S pohybem po kruhu to přímo nesouvisí ... asi tak, jak funkce sinus přímo nesouvisí s pohybem po kruhu. Je to prostě funkce s periodou 2*PI, proto musí mít v argumentu schované to 2*PI.